Subgroups — #36427

Order 256.

1250 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#552	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2853	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2502	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2487	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2482	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2479	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2475	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2441	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2415	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2411	C₂	1	2	yes	maximal
13	#2362	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2354	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2344	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₄×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
17	#2296	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#552	—	2	8	no	—
20	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂×#120	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	—	2	8	no	—
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
42	#400	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#399	C₂²	1	4	yes	—
44	#399	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#397	C₂²	1	4	yes	—
47	#396	C₂²	1	4	yes	—
48	#394	C₂²	1	4	yes	—
49	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#390	C₂²	1	4	yes	—
51	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#388	C₂²	1	4	yes	—
56	#388	C₂²	1	4	yes	—
57	#388	C₂²	1	4	yes	—
58	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#386	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	#386	C₂²	1	2	yes	—
65	#386	C₂²	1	2	yes	—
66	#385	C₂²	1	2	yes	—
67	#385	C₂²	1	4	yes	—
68	#385	C₂²	1	2	yes	—
69	#385	C₂²	1	2	yes	—
70	#385	C₂²	1	2	yes	—
71	#385	C₂²	1	2	yes	—
72	#385	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
74	#381	C₂²	1	2	yes	—
75	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	#380	C₂²	1	2	yes	—
77	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
78	#379	C₂²	1	2	yes	—
79	#379	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
85	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	#126	—	2	8	no	—
99	#125	—	2	8	no	—
100	#125	—	2	4	no	—
101	#123	—	2	8	no	—
102	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
103	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
105	#120	—	2	4	no	—
106	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₄×D₄	—	2	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	8	no	—
109	#117	—	2	8	no	—
110	#117	—	2	8	no	—
111	#117	—	2	8	no	—
112	#117	—	2	16	no	—
113	#117	—	2	4	no	—
114	#117	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	2	yes	—
163	#95	C₂³	1	2	yes	—
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	4	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	#95	C₂³	1	2	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	C₂⁴	—	2	2	no	—
174	C₂⁴	—	2	4	no	—
175	C₂⁴	—	2	2	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	4	2	no	—
178	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
238	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
239	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	#41	1	4	yes	—
257	C₄²	—	2	8	no	—
258	C₄²	—	2	8	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	8	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
285	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	4	4	no	—
288	D₄	—	4	8	no	—
289	D₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	16	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	4	16	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	1	no	—
346	C₂²	—	4	1	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	1	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	#547	1	4	yes	—
351	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
353	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#585	1	2	yes	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	4	1	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	4	1	no	—
364	C₄	—	4	4	no	—
365	C₄	—	4	1	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	#525	1	4	yes	—
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	—	4	4	no	—
372	C₂	—	8	1	no	—
373	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#3475	1	2	yes	—
376	C₂	#3487	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#3495	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#120	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#552	C₂	semidirect
2. C₂²×#117	C₂	semidirect
3. #2853	C₂	semidirect
4. #2848	C₂	semidirect
5. #2502	C₂	semidirect
6. #2487	C₂	semidirect
7. #2482	C₂	semidirect
8. #2479	C₂	semidirect
9. #2475	C₂	semidirect
10. #2441	C₂	semidirect
11. #2415	C₂	semidirect
13. #2362	C₂	semidirect
14. #2354	C₂	semidirect
15. #2344	C₂	semidirect
17. #2296	C₂	semidirect
20. C₂×#126	C₂²	semidirect
21. C₂×#125	C₂²	semidirect
22. C₂×#125	C₂²	semidirect
26. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
37. C₂×#117	C₂²	semidirect
42. #400	C₂²	semidirect
44. #399	C₂²	semidirect
45. #398	C₂²	semidirect
49. #391	C₂²	semidirect
51. #389	C₂²	semidirect
52. #389	C₂²	semidirect
53. #389	C₂²	semidirect
54. #389	C₂²	semidirect
58. #388	C₂²	semidirect
59. #388	C₂²	semidirect
60. #387	C₂²	semidirect
61. #387	C₂²	semidirect
62. #387	C₂²	semidirect
73. #384	C₂²	semidirect
77. #380	C₂²	semidirect
80. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
81. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
82. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
116. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#552	2
C₂²×#117	2
#2853	2
#2848	2
#2502	2
#2487	2
#2482	2
#2479	2
#2475	2
#2441	2
#2415	2
#2411	2
#2362	2
#2354	2
#2344	2
C₄×#120	2
#2296	2