Subgroups — #364330

Order 512.

1570 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1852	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13881	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11325	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10862	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1852	—	2	8	no	—
19	#1807	—	2	4	no	—
20	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₂×#340	—	2	4	no	—
22	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	#1442	—	2	4	no	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²⋊#95	—	2	4	no	—
31	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
34	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
36	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#107	—	2	8	no	—
52	C₂×#107	—	2	8	no	—
53	C₂×#107	—	4	4	no	—
54	C₂×#106	—	2	4	no	—
55	C₂×#106	—	4	4	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	#382	—	2	8	no	—
62	#382	—	4	4	no	—
63	#380	—	2	4	no	—
64	#380	—	2	4	no	—
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
67	C₂×#95	—	2	8	no	—
68	C₂×#95	—	2	2	no	—
69	C₂×#95	—	2	8	no	—
70	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
71	#340	—	2	2	no	—
72	#340	—	2	2	no	—
73	#340	—	2	8	no	—
74	#340	—	2	4	no	—
75	#340	—	2	4	no	—
76	#336	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
77	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
84	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
86	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
101	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
102	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
103	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
140	#107	—	4	16	no	—
141	#106	—	4	8	no	—
142	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
143	C₄×C₈	—	4	8	no	—
144	#95	—	4	16	no	—
145	#95	—	4	4	no	—
146	#95	—	8	8	no	—
147	#95	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₂⁴	—	2	4	no	—
149	C₂⁴	—	2	2	no	—
150	C₂⁴	—	2	2	no	—
151	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
153	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
154	C₂⁴	#135	1	8	yes	—
155	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
185	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	4	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	8	no	—
212	C₂×C₈	—	2	8	no	—
213	C₂×C₈	—	4	16	no	—
214	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
215	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
217	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
230	C₄²	—	2	4	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	8	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	16	no	—
239	C₂³	—	2	16	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	#384	1	4	yes	—
243	C₂³	#427	1	8	yes	—
244	C₂³	#495	1	8	yes	—
245	C₂³	#499	1	8	yes	—
246	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
249	C₂³	#546	1	4	yes	—
250	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
251	C₂³	#576	1	2	yes	—
252	C₂³	#578	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	16	no	—
267	C₂×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	—	8	32	no	—
269	C₂×C₄	—	8	4	no	—
270	C₂×C₄	—	8	4	no	—
271	C₂×C₄	—	8	8	no	—
272	C₂×C₄	—	8	2	no	—
273	C₂×C₄	—	8	2	no	—
274	C₂×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	—	8	8	no	—
277	C₂×C₄	—	8	8	no	—
278	C₂×C₄	—	8	2	no	—
279	C₂×C₄	—	8	2	no	—
280	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
294	C₈	—	2	4	no	—
295	C₈	—	2	4	no	—
296	C₈	—	2	8	no	—
297	C₂²	—	2	4	no	—
298	C₂²	—	2	16	no	—
299	C₂²	—	2	4	no	—
300	C₂²	—	2	8	no	—
301	C₂²	—	2	8	no	—
302	C₂²	—	2	16	no	—
303	C₂²	#1846	1	8	yes	—
304	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#2349	1	2	yes	—
306	C₂²	#2539	1	2	yes	—
307	C₂²	#2549	1	2	yes	—
308	C₂²	C₂×#427	1	2	yes	—
309	C₂²	#2913	1	2	yes	—
310	C₂²	C₂×#495	1	2	yes	—
311	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×#499	1	2	yes	—
314	C₂²	#3164	1	2	yes	—
315	C₂²	#3297	1	8	yes	—
316	C₂²	#3300	1	8	yes	—
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	4	8	no	—
319	C₄	—	8	8	no	—
320	C₄	—	16	2	no	—
321	C₄	—	16	2	no	—
322	C₄	#2296	1	1	yes	characteristic
323	C₄	#2315	1	1	yes	characteristic
324	C₄	#2349	1	2	yes	—
325	C₄	#2549	1	2	yes	—
326	C₄	#2583	1	2	yes	—
327	C₂	—	2	8	no	—
328	C₂	#13965	1	1	yes	characteristic
329	C₂	C₂×#1846	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#20803	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#22704	1	4	yes	—
332	C₂	#28331	1	2	yes	—
333	C₂	#28335	1	2	yes	—
334	C₂	#28772	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11325	C₂	semidirect
7. #10862	C₂	semidirect
8. #10842	C₂	semidirect
20. C₈×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
60. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
76. #336	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1852	2
C₂×#1807	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
C₂²×#340	2
#13881	2
#11325	2
#10862	2
#10842	2