Subgroups — #364340

Order 512.

1250 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1855	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20837	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂²×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11326	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10865	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10845	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1855	—	2	8	no	—
19	#1851	—	2	4	no	—
20	#1850	—	2	4	no	—
21	#1810	—	2	4	no	—
22	#1752	C₄	1	4	yes	—
23	#1752	C₄	1	4	yes	—
24	C₂×#341	—	2	4	no	—
25	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1728	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
42	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
46	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#108	—	2	8	no	—
53	C₂×#108	—	2	4	no	—
54	C₂×#108	—	2	8	no	—
55	C₂×#108	—	4	4	no	—
56	C₂×#108	—	4	4	no	—
57	#423	—	2	8	no	—
58	#423	—	4	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
60	#407	—	2	4	no	—
61	#407	—	2	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
68	C₂×#97	—	4	4	no	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×#95	Q₈	1	2	yes	—
75	#341	—	2	2	no	—
76	#341	—	2	2	no	—
77	#341	—	2	8	no	—
78	#341	—	2	4	no	—
79	#341	—	2	4	no	—
80	#336	—	2	8	no	—
81	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	C₂⁵	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
114	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
129	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	#108	—	4	16	no	—
147	#108	—	4	8	no	—
148	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
149	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
150	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
151	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
152	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
153	#97	—	4	8	no	—
154	#95	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
155	#95	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
156	C₂⁴	—	2	4	no	—
157	C₂⁴	—	2	4	no	—
158	C₂⁴	—	4	2	no	—
159	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
162	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
163	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
201	M₁₆	—	2	8	no	—
202	M₁₆	—	2	8	no	—
203	M₁₆	—	4	16	no	—
204	M₁₆	—	4	4	no	—
205	M₁₆	—	4	4	no	—
206	M₁₆	—	4	2	no	—
207	M₁₆	—	4	2	no	—
208	M₁₆	—	4	2	no	—
209	M₁₆	—	4	2	no	—
210	M₁₆	—	4	4	no	—
211	M₁₆	—	4	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	4	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	8	no	—
221	C₂×C₈	—	2	8	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	4	8	no	—
224	C₂×C₈	—	4	8	no	—
225	C₂×C₈	—	4	16	no	—
226	C₂×C₈	—	4	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	4	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
233	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	2	8	no	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	4	2	no	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	—	4	16	no	—
254	C₂³	#384	1	2	yes	—
255	C₂³	#384	1	2	yes	—
256	C₂³	#430	1	4	yes	—
257	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	#554	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	8	8	no	—
279	C₂×C₄	#384	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#384	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
294	C₈	—	2	4	no	—
295	C₈	—	2	4	no	—
296	C₈	—	2	8	no	—
297	C₈	—	4	8	no	—
298	C₈	—	8	2	no	—
299	C₈	—	8	2	no	—
300	C₂²	—	2	1	no	—
301	C₂²	—	2	1	no	—
302	C₂²	—	2	1	no	—
303	C₂²	—	2	1	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	8	no	—
307	C₂²	—	2	8	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	4	8	no	—
312	C₂²	—	4	8	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	#1849	1	4	yes	—
315	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#2349	1	2	yes	—
317	C₂²	#2549	1	2	yes	—
318	C₂²	#2583	1	2	yes	—
319	C₂²	C₂×#430	1	2	yes	—
320	C₂²	#2916	1	2	yes	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	2	2	no	—
323	C₄	—	4	8	no	—
324	C₄	#2296	1	1	yes	characteristic
325	C₄	#2315	1	1	yes	characteristic
326	C₄	#2349	1	2	yes	—
327	C₄	#2539	1	2	yes	—
328	C₄	#2549	1	2	yes	—
329	C₂	—	2	2	no	—
330	C₂	—	2	4	no	—
331	C₂	—	2	2	no	—
332	C₂	—	4	2	no	—
333	C₂	#13965	1	1	yes	characteristic
334	C₂	C₂×#1849	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#20807	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#22718	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11326	C₂	semidirect
7. #10865	C₂	semidirect
8. #10845	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1855	2
#20837	2
C₂×#1810	2
C₂×#1752	2
C₂²×#341	2
#11326	2
#10865	2
#10845	2