Subgroups — #36544

Order 256.

1252 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2584	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2580	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2567	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2538	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2465	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2449	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2423	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2360	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2355	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal
17	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
18	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#554	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#399	C₂²	1	4	yes	—
44	#398	C₂²	1	4	yes	—
45	#396	C₂²	1	4	yes	—
46	#395	C₂²	1	4	yes	—
47	#395	C₂²	1	4	yes	—
48	#393	C₂²	1	4	yes	—
49	#391	C₂²	1	2	yes	—
50	#391	C₂²	1	2	yes	—
51	#391	C₂²	1	2	yes	—
52	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	#390	C₂²	1	2	yes	—
54	#389	C₂²	1	2	yes	—
55	#389	C₂²	1	2	yes	—
56	#389	C₂²	1	2	yes	—
57	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#389	C₂²	1	2	yes	—
59	#389	C₂²	1	4	yes	—
60	#389	C₂²	1	4	yes	—
61	#389	C₂²	1	2	yes	—
62	#388	C₂²	1	4	yes	—
63	#388	C₂²	1	2	yes	—
64	#387	C₂²	1	4	yes	—
65	#387	C₂²	1	4	yes	—
66	#387	C₂²	1	4	yes	—
67	#386	C₂²	1	4	yes	—
68	#386	C₂²	1	2	yes	—
69	#385	C₂²	1	4	yes	—
70	#385	C₂²	1	4	yes	—
71	#385	C₂²	1	4	yes	—
72	#385	C₂²	1	4	yes	—
73	#384	C₂²	1	2	yes	—
74	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	#382	C₂²	1	2	yes	—
76	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#380	C₂²	1	2	yes	—
78	#380	C₂²	1	2	yes	—
79	#380	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
85	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
102	#125	—	2	8	no	—
103	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
107	#121	Q₈	1	8	yes	complemented
108	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
114	C₄×D₄	—	2	8	no	—
115	C₄×D₄	—	2	8	no	—
116	C₄×D₄	—	2	4	no	—
117	C₄×D₄	—	4	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	#95	C₂³	1	2	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	#95	C₂³	1	4	yes	—
174	#95	C₂³	1	4	yes	—
175	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
188	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×Q₈	#41	1	4	yes	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
195	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
252	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
253	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	4	4	no	—
271	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
272	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
286	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	2	16	no	—
289	Q₈	—	2	8	no	—
290	Q₈	—	2	8	no	—
291	Q₈	—	8	4	no	—
292	D₄	—	2	16	no	—
293	D₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	8	8	no	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	#554	1	4	yes	complemented
360	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	1	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	#525	1	4	yes	—
381	C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
382	C₂	—	2	4	no	—
383	C₂	—	4	4	no	—
384	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
385	C₂	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₂×#554	1	1	yes	characteristic
387	C₂	Q₈×#41	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#3488	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#3507	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#3522	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#554	C₂	semidirect
2. C₂²×C₄×Q₈	C₂	semidirect
3. #2857	C₂	semidirect
4. #2851	C₂	semidirect
5. #2584	C₂	semidirect
6. #2580	C₂	semidirect
7. #2567	C₂	semidirect
8. #2538	C₂	semidirect
9. #2465	C₂	semidirect
10. #2449	C₂	semidirect
11. #2423	C₂	semidirect
12. #2409	C₂	semidirect
13. #2360	C₂	semidirect
14. #2355	C₂	semidirect
15. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
107. #121	Q₈	semidirect
113. C₄×Q₈	D₄	semidirect
195. C₂×D₄	C₂×Q₈	semidirect
253. C₄⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
262. C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
359. C₂²	#554	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#554	2
C₂²×C₄×Q₈	2
#2857	2
#2851	2
#2584	2
#2580	2
#2567	2
#2538	2
#2465	2
#2449	2
#2423	2
#2409	2
#2360	2
#2355	2
D₄×C₄⋊C₄	2
C₄×#121	2