Subgroups — #365485

Order 512.

1234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#14687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11339	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10892	C₂	1	4	yes	maximal
8	#10857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2360	—	2	4	no	—
15	#2355	—	2	2	no	—
16	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
17	#2330	—	2	2	no	—
18	#2317	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
20	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	—
23	#2274	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1994	C₄	1	8	yes	complemented
27	#1992	—	2	2	no	—
28	#1990	—	2	2	no	—
29	#1948	—	2	2	no	—
30	#1947	—	2	2	no	—
31	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
32	#1736	C₂²	1	4	yes	—
33	#1736	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄⋊#95	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	#533	—	2	2	no	—
41	#533	—	2	2	no	—
42	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	#533	Q₈	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
45	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#428	—	4	4	no	—
60	C₂×#107	—	2	2	no	—
61	C₂×#106	—	2	2	no	—
62	#423	—	2	2	no	—
63	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
66	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂×#97	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
69	#391	—	2	4	no	—
70	#389	—	2	4	no	—
71	#389	—	2	8	no	—
72	#389	—	2	4	no	—
73	#387	—	2	8	no	—
74	#385	—	2	4	no	—
75	#384	—	2	2	no	—
76	#384	—	2	1	no	—
77	#384	—	2	1	no	—
78	#384	—	2	2	no	—
79	#384	—	2	2	no	—
80	#384	—	2	1	no	—
81	#384	—	2	1	no	—
82	#382	—	2	2	no	—
83	#382	—	2	8	no	—
84	#382	—	4	4	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	#376	—	2	1	no	—
93	C₂×#95	—	2	8	no	—
94	C₄³	—	2	1	no	—
95	C₄³	—	2	2	no	—
96	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	#343	—	4	4	no	—
98	#340	—	2	4	no	—
99	#340	—	2	8	no	—
100	#339	—	2	4	no	—
101	#339	C₂×C₄	1	16	yes	—
102	#339	Q₈	1	8	yes	complemented
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
122	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
123	#125	—	2	4	no	—
124	#125	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
127	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
129	C₄×Q₈	—	8	8	no	—
130	#117	—	2	2	no	—
131	#117	—	2	2	no	—
132	#117	—	2	2	no	—
133	#117	—	2	2	no	—
134	#117	—	2	2	no	—
135	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
137	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
184	#107	—	4	4	no	—
185	#106	—	4	4	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
187	#97	—	4	2	no	—
188	C₄×C₈	—	4	2	no	—
189	#95	—	2	8	no	—
190	#95	—	2	8	no	—
191	#95	—	2	2	no	—
192	#95	—	2	2	no	—
193	#95	—	4	16	no	—
194	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
229	M₁₆	—	2	8	no	—
230	M₁₆	—	2	4	no	—
231	M₁₆	—	2	4	no	—
232	M₁₆	—	4	4	no	—
233	M₁₆	—	4	2	no	—
234	M₁₆	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
260	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
261	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	4	16	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	4	no	—
275	C₄²	—	4	4	no	—
276	C₄²	—	8	8	no	—
277	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
279	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
280	C₄²	C₄×Q₈	1	8	yes	complemented
281	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
282	C₄²	#123	1	2	yes	—
283	C₄²	#123	1	2	yes	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	#546	1	2	yes	—
290	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
291	Q₈	—	4	16	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	1	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	8	no	—
314	C₂×C₄	—	8	8	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#454	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#455	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
339	C₈	—	4	4	no	—
340	C₈	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#2360	1	2	yes	—
348	C₂²	#2431	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2451	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂×#455	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×#454	1	2	yes	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	4	8	no	—
355	C₄	—	4	8	no	—
356	C₄	—	4	4	no	—
357	C₄	—	8	1	no	—
358	C₄	—	8	4	no	—
359	C₄	—	8	1	no	—
360	C₄	—	16	2	no	—
361	C₄	#1860	1	8	yes	—
362	C₄	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
364	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
365	C₄	#2423	1	2	yes	—
366	C₄	#2565	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
368	C₂	—	2	2	no	—
369	C₂	—	2	2	no	—
370	C₂	#13976	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂×#1860	1	2	yes	—
372	C₂	#25590	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#25591	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#25829	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
26. #1994	C₄	semidirect
102. #339	Q₈	semidirect
280. C₄²	C₄×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34214	2
C₂×#1994	2
#21322	2
#21171	2
#14687	2
#11339	2
#10892	2
#10857	2
C₄×#339	2