Subgroups — #365489

Order 512.

1088 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60192	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21177	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20791	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11341	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10894	C₂	1	4	yes	maximal
8	#10856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	Q₈×M₁₆	—	2	4	no	—
12	#2962	—	2	4	no	—
13	#2961	—	2	2	no	—
14	#2960	—	2	2	no	—
15	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
16	#2905	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2873	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1995	—	2	2	no	—
26	#1994	—	2	2	no	—
27	#1994	C₄	1	2	yes	complemented
28	#1994	C₄	1	2	yes	complemented
29	#1994	C₄	1	4	yes	complemented
30	#1950	—	2	4	no	—
31	#1842	—	2	4	no	—
32	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
33	#1738	C₂²	1	2	yes	—
34	#1733	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	#533	—	2	2	no	—
44	#533	—	2	2	no	—
45	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	#533	D₄	1	2	yes	—
48	#533	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	2	yes	—
50	C₂×#125	Q₈	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#446	—	2	8	no	—
59	#446	—	2	16	no	—
60	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
61	#430	—	4	4	no	—
62	C₂×#108	—	2	4	no	—
63	#424	—	2	4	no	—
64	#424	—	2	4	no	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	#423	—	2	1	no	—
67	#423	—	2	1	no	—
68	#423	—	2	2	no	—
69	#423	—	2	2	no	—
70	#423	—	2	2	no	—
71	#423	—	2	1	no	—
72	#423	—	2	1	no	—
73	#423	—	2	8	no	—
74	#423	—	4	4	no	—
75	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
81	#405	—	2	4	no	—
82	#405	—	2	4	no	—
83	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
84	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
85	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×#97	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
90	#376	—	2	1	no	—
91	C₄³	—	2	2	no	—
92	C₄³	—	2	1	no	—
93	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	#344	—	4	4	no	—
97	#341	—	2	4	no	—
98	#339	—	2	8	no	—
99	#339	—	2	4	no	—
100	#339	C₂×C₄	1	8	yes	—
101	#339	C₂×C₄	1	8	yes	—
102	#339	Q₈	1	8	yes	complemented
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
135	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
136	#125	—	2	4	no	—
137	#125	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
138	#125	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
183	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
184	#108	—	4	8	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
191	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
193	#97	—	2	8	no	—
194	#97	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	8	no	—
196	C₄×C₈	—	2	4	no	—
197	#95	—	4	2	no	—
198	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
226	M₁₆	—	2	2	no	—
227	M₁₆	—	2	4	no	—
228	M₁₆	—	2	8	no	—
229	M₁₆	—	2	2	no	—
230	M₁₆	—	2	2	no	—
231	M₁₆	—	4	2	no	—
232	M₁₆	—	4	2	no	—
233	M₁₆	—	4	4	no	—
234	M₁₆	—	4	2	no	—
235	M₁₆	—	4	4	no	—
236	M₁₆	—	4	2	no	—
237	M₁₆	—	4	2	no	—
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	8	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄²	—	2	8	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	4	8	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	8	4	no	—
275	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
281	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
282	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
283	C₄²	#120	1	2	yes	—
284	C₄²	#120	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#552	1	2	yes	—
292	C₂³	#554	1	2	yes	—
293	Q₈	—	4	8	no	—
294	Q₈	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	4	4	no	—
335	C₈	—	4	4	no	—
336	C₈	—	4	2	no	—
337	C₈	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2360	1	2	yes	—
345	C₂²	#2423	1	2	yes	—
346	C₂²	#2565	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#2567	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	8	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	4	8	no	—
354	C₄	—	8	4	no	—
355	C₄	#1861	1	4	yes	—
356	C₄	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
358	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
359	C₄	#2431	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#2451	1	2	yes	—
362	C₂	—	2	2	no	—
363	C₂	—	2	2	no	—
364	C₂	—	2	1	no	—
365	C₂	—	2	1	no	—
366	C₂	#13976	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂×#1861	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#385
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
27. #1994	C₄	semidirect
28. #1994	C₄	semidirect
29. #1994	C₄	semidirect
102. #339	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60192	2
#21329	2
C₂×#1994	2
#21177	2
#20791	2
#11341	2
#10894	2
#10856	2
C₄×#339	2