Subgroups — #365574

Order 512.

1514 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 429 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1857	C₂	1	4	yes	maximal
5	#20800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#14714	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11136	C₂	1	4	yes	maximal
8	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2365	—	2	2	no	—
18	#2365	—	2	2	no	—
19	#2344	—	2	4	no	—
20	#2327	—	2	2	no	—
21	#2310	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
23	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
24	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
25	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1966	C₄	1	8	yes	complemented
30	#1948	—	2	2	no	—
31	#1947	—	2	2	no	—
32	#1857	—	2	16	no	—
33	#1847	—	2	2	no	—
34	#1845	—	2	1	no	—
35	#1844	—	2	1	no	—
36	#1736	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄⋊#95	—	2	4	no	—
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	4	yes	—
51	#519	—	2	8	no	—
52	#519	—	4	4	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×#117	—	2	4	no	—
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#428	—	2	8	no	—
68	#428	—	2	8	no	—
69	#428	—	4	4	no	—
70	C₂×#107	—	2	4	no	—
71	C₂×#107	—	2	2	no	—
72	C₂×#106	—	2	4	no	—
73	C₂×#106	—	2	2	no	—
74	#423	—	2	2	no	—
75	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×#101	—	2	8	no	—
78	C₂×#101	—	2	8	no	—
79	C₂×#101	C₂×C₄	1	16	yes	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₂×#97	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
84	#391	—	2	2	no	—
85	#391	—	2	2	no	—
86	#391	—	2	4	no	—
87	#391	—	2	8	no	—
88	#391	—	4	4	no	—
89	#389	—	2	4	no	—
90	#389	—	2	4	no	—
91	#387	—	2	8	no	—
92	#387	—	2	8	no	—
93	#384	—	2	1	no	—
94	#384	—	2	1	no	—
95	#384	—	2	2	no	—
96	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
97	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
98	#382	D₄	1	2	yes	—
99	#381	—	2	4	no	—
100	#380	—	2	2	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
105	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
107	#376	—	2	1	no	—
108	C₂×#95	—	2	8	no	—
109	C₄³	—	2	1	no	—
110	C₄³	—	2	2	no	—
111	C₄³	—	2	2	no	—
112	#340	—	2	4	no	—
113	#339	—	2	4	no	—
114	#339	—	2	8	no	—
115	#339	D₄	1	8	yes	—
116	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
149	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
150	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
151	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
152	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	4	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	4	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	—	4	16	no	—
161	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
199	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
200	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
208	#107	—	4	8	no	—
209	#107	—	4	4	no	—
210	#106	—	4	8	no	—
211	#106	—	4	4	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
213	#101	—	2	32	no	—
214	#97	—	2	4	no	—
215	C₄×C₈	—	2	4	no	—
216	#95	—	2	8	no	—
217	#95	—	2	8	no	—
218	#95	—	2	2	no	—
219	#95	—	2	2	no	—
220	#95	—	2	4	no	—
221	#95	—	4	16	no	—
222	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
275	M₁₆	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	2	4	no	—
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	8	no	—
279	M₁₆	—	4	4	no	—
280	M₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
304	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
305	C₄⋊C₄	#127	1	2	yes	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	2	4	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	4	16	no	—
313	C₄²	—	4	8	no	—
314	C₄²	—	4	8	no	—
315	C₄²	—	4	2	no	—
316	C₄²	—	4	2	no	—
317	C₄²	—	4	2	no	—
318	C₄²	—	4	2	no	—
319	C₄²	—	4	2	no	—
320	C₄²	—	4	4	no	—
321	C₄²	—	4	4	no	—
322	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
323	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
324	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
325	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
326	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
327	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
328	C₂³	—	2	2	no	—
329	C₂³	—	2	2	no	—
330	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
334	C₂³	#547	1	2	yes	—
335	Q₈	—	4	4	no	—
336	Q₈	—	4	4	no	—
337	Q₈	—	4	4	no	—
338	Q₈	—	4	8	no	—
339	Q₈	—	4	8	no	—
340	Q₈	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	8	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	8	no	—
346	C₂×C₄	—	2	16	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	8	8	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	#454	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	#456	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
391	C₈	—	2	8	no	—
392	C₈	—	4	4	no	—
393	C₂²	—	2	4	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	2	2	no	—
398	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
400	C₂²	#2422	1	2	yes	—
401	C₂²	#2432	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	C₂×#454	1	2	yes	—
404	C₂²	C₂×#456	1	2	yes	—
405	C₄	—	2	4	no	—
406	C₄	—	4	8	no	—
407	C₄	—	4	2	no	—
408	C₄	—	4	2	no	—
409	C₄	—	4	8	no	—
410	C₄	—	8	2	no	—
411	C₄	—	8	2	no	—
412	C₄	—	8	2	no	—
413	C₄	—	16	2	no	—
414	C₄	#1857	1	8	yes	complemented
415	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#2361	1	2	yes	—
418	C₄	#2452	1	2	yes	—
419	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
420	C₄	#2566	1	1	yes	characteristic
421	C₂	—	2	2	no	—
422	C₂	—	2	2	no	—
423	C₂	#13977	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₂×#1857	1	2	yes	—
425	C₂	#25688	1	2	yes	—
426	C₂	#25745	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#25746	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
29. #1966	C₄	semidirect
414. C₄	#1857	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34209	2
C₂×#1966	2
#21171	2
C₂×#1857	2
#20800	2
#14714	2
#11136	2
#10839	2
C₄×#339	2