Subgroups — #365576

Order 512.

1806 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21172	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1856	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#14272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11135	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10701	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2366	—	2	4	no	—
18	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
19	#2328	—	2	2	no	—
20	#2309	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×#127	—	2	2	no	—
22	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1965	C₄	1	8	yes	complemented
28	#1949	—	2	4	no	—
29	#1856	—	2	16	no	—
30	#1847	—	2	2	no	—
31	#1846	—	2	2	no	—
32	#1736	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	#1438	—	2	4	no	—
37	C₂³×D₄	D₄	1	4	yes	—
38	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#127	—	2	1	no	—
42	C₂×#127	—	2	1	no	—
43	C₂×#127	—	2	2	no	—
44	C₂×#127	—	2	2	no	—
45	C₂×#127	—	2	2	no	—
46	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#127	Q₈	1	4	yes	—
48	#518	—	2	8	no	—
49	#518	—	4	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#428	—	2	8	no	—
62	#428	—	2	8	no	—
63	#428	—	4	4	no	—
64	C₂×#107	—	2	4	no	—
65	C₂×#107	—	2	2	no	—
66	C₂×#106	—	2	4	no	—
67	C₂×#106	—	2	2	no	—
68	#423	—	2	2	no	—
69	#423	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×#100	—	2	8	no	—
72	C₂×#100	—	2	8	no	—
73	C₂×#100	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
74	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
75	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
76	C₂×#97	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
78	#390	—	2	8	no	—
79	#390	—	2	4	no	—
80	#390	—	2	4	no	—
81	#390	—	2	8	no	—
82	#390	—	4	4	no	—
83	#386	—	2	16	no	—
84	#384	D₄	1	2	yes	—
85	#382	—	2	1	no	—
86	#382	—	2	1	no	—
87	#382	—	2	2	no	—
88	#382	D₄	1	2	yes	—
89	#380	—	2	2	no	—
90	#379	—	2	4	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	#376	—	2	1	no	—
95	#376	—	2	2	no	—
96	#376	—	2	2	no	—
97	C₂×#95	—	2	2	no	—
98	C₂×#95	—	2	2	no	—
99	C₄³	—	2	1	no	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#339	—	2	4	no	—
102	#339	—	2	8	no	—
103	#339	D₄	1	8	yes	complemented
104	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
117	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	#127	—	2	4	no	—
138	#127	—	2	4	no	—
139	#127	—	2	8	no	—
140	#127	—	2	4	no	—
141	#127	—	2	8	no	—
142	#127	—	2	4	no	—
143	C₄×D₄	—	4	8	no	—
144	C₄×D₄	—	4	8	no	—
145	C₄×D₄	—	4	8	no	—
146	C₄×D₄	—	4	8	no	—
147	C₄×D₄	—	8	16	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	4	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
187	#107	—	4	8	no	—
188	#107	—	4	4	no	—
189	#106	—	4	8	no	—
190	#106	—	4	4	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
192	#100	—	2	32	no	—
193	#97	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	#95	—	2	4	no	—
196	#95	—	2	4	no	—
197	#95	—	4	2	no	—
198	#95	—	4	2	no	—
199	#95	—	4	4	no	—
200	C₂⁴	—	2	4	no	—
201	C₂⁴	—	2	4	no	—
202	C₂⁴	—	2	8	no	—
203	C₂⁴	—	2	8	no	—
204	C₂⁴	—	4	16	no	—
205	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
206	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	8	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	16	no	—
216	C₂×D₄	—	2	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	16	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	8	8	no	—
229	C₂×D₄	—	8	16	no	—
230	C₂×D₄	—	8	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
258	M₁₆	—	2	4	no	—
259	M₁₆	—	2	4	no	—
260	M₁₆	—	2	4	no	—
261	M₁₆	—	2	8	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	M₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	complemented
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₄⋊C₄	#127	1	4	yes	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	4	8	no	—
290	C₄²	—	4	2	no	—
291	C₄²	—	4	2	no	—
292	C₄²	—	4	2	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
297	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
298	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
299	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
301	C₂³	—	2	4	no	—
302	C₂³	—	2	8	no	—
303	C₂³	—	2	16	no	—
304	C₂³	—	4	16	no	—
305	C₂³	—	4	4	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	4	16	no	—
308	C₂³	—	4	8	no	—
309	C₂³	—	8	8	no	—
310	C₂³	—	8	8	no	—
311	C₂³	—	8	16	no	—
312	C₂³	—	8	8	no	—
313	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
317	C₂³	#547	1	2	yes	—
318	D₄	—	4	32	no	—
319	D₄	—	4	4	no	—
320	D₄	—	4	4	no	—
321	D₄	—	4	4	no	—
322	D₄	—	4	8	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	8	16	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	—	8	8	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	4	no	—
343	C₂×C₄	—	16	16	no	—
344	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
364	C₈	—	2	8	no	—
365	C₈	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	2	4	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	4	16	no	—
371	C₂²	—	4	8	no	—
372	C₂²	—	8	16	no	—
373	C₂²	—	8	8	no	—
374	C₂²	—	8	8	no	—
375	C₂²	—	16	8	no	—
376	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
378	C₂²	#2422	1	2	yes	—
379	C₂²	#2432	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#3019	1	4	yes	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	2	4	no	—
384	C₄	—	4	4	no	—
385	C₄	—	8	4	no	—
386	C₄	—	8	2	no	—
387	C₄	—	8	4	no	—
388	C₄	—	16	2	no	—
389	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#2361	1	2	yes	—
392	C₄	#2452	1	2	yes	—
393	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2566	1	1	yes	characteristic
395	C₂	—	2	2	no	—
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	8	8	no	—
398	C₂	#13977	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#20856	1	2	yes	—
400	C₂	#25690	1	2	yes	—
401	C₂	#25749	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21172	C₂	semidirect
4. C₂×#1856	C₂	semidirect
5. #20801	C₂	semidirect
7. #11135	C₂	semidirect
8. #10840	C₂	semidirect
9. #10701	C₂	semidirect
27. #1965	C₄	semidirect
69. #423	C₂×C₄	semidirect
73. C₂×#100	C₂×C₄	semidirect
75. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
103. #339	D₄	semidirect
263. M₁₆	C₄×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34210	2
C₂×#1965	2
#21172	2
C₂×#1856	2
#20801	2
#14272	2
#11135	2
#10840	2
#10701	2