Subgroups — #365579

Order 512.

1380 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 416 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21177	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1858	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11137	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2935	—	2	4	no	—
13	D₄×M₁₆	—	2	4	no	—
14	#2932	—	2	2	no	—
15	#2931	—	2	2	no	—
16	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
22	#2879	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1967	C₄	1	4	yes	—
28	#1966	C₄	1	2	yes	—
29	#1965	C₄	1	2	yes	—
30	#1954	—	2	4	no	—
31	#1950	—	2	4	no	—
32	#1858	—	2	16	no	—
33	#1849	—	2	2	no	—
34	#1848	—	2	2	no	—
35	#1738	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
40	#568	—	2	8	no	—
41	#568	—	4	4	no	—
42	C₂×#131	—	2	4	no	—
43	C₂×#131	—	2	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	#532	—	2	1	no	—
53	#532	—	2	1	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	#532	—	2	1	no	—
56	#532	—	2	1	no	—
57	#532	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×#121	Q₈	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#436	—	2	8	no	—
65	#435	—	2	16	no	—
66	C₈×D₄	—	2	8	no	—
67	#430	—	2	8	no	—
68	#430	—	2	8	no	—
69	#430	—	4	4	no	—
70	C₂×#108	—	2	8	no	—
71	C₂×#108	—	2	4	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	—	2	2	no	—
74	#423	—	2	1	no	—
75	#423	—	2	1	no	—
76	#423	—	2	2	no	—
77	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#423	D₄	1	2	yes	—
80	#423	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
84	#413	—	2	8	no	—
85	#413	—	2	8	no	—
86	C₂×#101	C₂×C₄	1	8	yes	—
87	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
88	#408	—	2	4	no	—
89	#408	—	2	4	no	—
90	#408	—	2	8	no	—
91	#408	—	4	4	no	—
92	#407	—	2	4	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
94	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
96	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
97	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
100	C₂×#97	—	2	1	no	—
101	C₂×#97	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
108	#341	—	2	4	no	—
109	#341	—	2	4	no	—
110	#341	—	2	8	no	—
111	#341	D₄	1	8	yes	complemented
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	4	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	4	no	—
118	C₂×#41	—	2	4	no	—
119	C₂×#41	—	2	4	no	—
120	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	#131	—	4	16	no	—
128	#131	—	4	8	no	—
129	#131	—	4	8	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
158	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
175	#127	—	2	1	no	—
176	#127	—	2	1	no	—
177	#127	—	2	2	no	—
178	#124	—	2	2	no	—
179	#124	—	2	2	no	—
180	#124	—	2	4	no	—
181	#121	—	2	4	no	—
182	#121	—	2	4	no	—
183	#121	—	2	4	no	—
184	#121	—	2	4	no	—
185	C₄×D₄	—	2	4	no	—
186	C₄×D₄	—	2	4	no	—
187	C₄×D₄	—	2	4	no	—
188	C₄×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
200	#108	—	4	16	no	—
201	#108	—	4	8	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
206	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
207	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
208	#101	—	2	16	no	—
209	#100	—	2	16	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
212	#97	—	2	2	no	—
213	#97	—	2	2	no	—
214	#97	—	2	4	no	—
215	C₄×C₈	—	2	2	no	—
216	C₄×C₈	—	2	2	no	—
217	C₄×C₈	—	2	4	no	—
218	C₄×C₈	—	4	2	no	—
219	C₄×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
221	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	4	no	—
224	#41	—	4	2	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	4	no	—
228	#41	—	4	4	no	—
229	#41	—	4	4	no	—
230	#41	—	4	4	no	—
231	#41	—	4	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	8	no	—
239	C₂×D₄	—	2	8	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	2	2	no	—
271	M₁₆	—	2	4	no	—
272	M₁₆	—	2	4	no	—
273	M₁₆	—	2	4	no	—
274	M₁₆	—	2	8	no	—
275	M₁₆	—	2	2	no	—
276	M₁₆	—	2	2	no	—
277	M₁₆	—	2	8	no	—
278	M₁₆	—	4	16	no	—
279	M₁₆	—	4	4	no	—
280	M₁₆	—	4	4	no	—
281	M₁₆	—	4	2	no	—
282	M₁₆	—	4	2	no	—
283	M₁₆	—	4	2	no	—
284	M₁₆	—	4	4	no	—
285	M₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	—
286	M₁₆	#127	1	4	yes	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	4	16	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	—	4	2	no	—
308	C₂×C₈	—	4	2	no	—
309	C₂×C₈	—	4	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
314	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
319	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
320	C₄²	#120	1	2	yes	—
321	C₄²	#120	1	2	yes	—
322	C₄²	#123	1	2	yes	—
323	C₄²	#123	1	2	yes	—
324	C₂³	—	2	4	no	—
325	C₂³	—	2	8	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	8	no	—
328	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
332	C₂³	#554	1	2	yes	—
333	Q₈	—	4	2	no	—
334	Q₈	—	4	2	no	—
335	Q₈	—	4	4	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	4	8	no	—
338	D₄	—	4	4	no	—
339	D₄	—	4	2	no	—
340	D₄	—	4	2	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	8	no	—
343	D₄	—	8	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	8	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	8	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
377	C₈	—	2	8	no	—
378	C₈	—	2	4	no	—
379	C₈	—	4	4	no	—
380	C₈	—	4	4	no	—
381	C₈	—	4	2	no	—
382	C₈	—	4	4	no	—
383	C₈	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	2	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	4	8	no	—
390	C₂²	—	4	4	no	—
391	C₂²	—	8	8	no	—
392	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
394	C₂²	#2452	1	2	yes	—
395	C₂²	#2542	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#2566	1	1	yes	characteristic
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	4	4	no	—
401	C₄	#1858	1	4	yes	complemented
402	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#2361	1	2	yes	—
405	C₄	#2422	1	2	yes	—
406	C₄	#2432	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
408	C₂	—	2	2	no	—
409	C₂	—	2	1	no	—
410	C₂	—	2	2	no	—
411	C₂	—	2	1	no	—
412	C₂	—	8	4	no	—
413	C₂	#13977	1	1	yes	characteristic
414	C₂	C₂×#1858	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#385
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #21177	C₂	semidirect
5. C₂×#1858	C₂	semidirect
6. #20806	C₂	semidirect
7. #11137	C₂	semidirect
8. #10844	C₂	semidirect
9. C₄×#341	C₂	semidirect
111. #341	D₄	semidirect
401. C₄	#1858	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60144	2
#21218	2
#21187	2
#21177	2
C₂×#1858	2
#20806	2
#11137	2
#10844	2
C₄×#341	2