Subgroups — #36561

Order 256.

1192 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#554	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2857	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2564	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2556	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2551	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2506	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2452	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2417	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2365	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2360	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal
16	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
17	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#554	—	2	16	no	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#125	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
39	#400	C₂²	1	4	yes	—
40	#399	C₂²	1	4	yes	—
41	#398	C₂²	1	4	yes	—
42	#396	C₂²	1	4	yes	—
43	#395	C₂²	1	4	yes	—
44	#393	C₂²	1	4	yes	—
45	#391	C₂²	1	2	yes	—
46	#391	C₂²	1	4	yes	—
47	#391	C₂²	1	2	yes	—
48	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#389	C₂²	1	2	yes	—
51	#389	C₂²	1	4	yes	—
52	#389	C₂²	1	2	yes	—
53	#389	C₂²	1	2	yes	—
54	#389	C₂²	1	2	yes	—
55	#389	C₂²	1	2	yes	—
56	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#389	C₂²	1	2	yes	—
58	#388	C₂²	1	4	yes	—
59	#388	C₂²	1	2	yes	—
60	#387	C₂²	1	4	yes	—
61	#387	C₂²	1	4	yes	—
62	#386	C₂²	1	2	yes	—
63	#386	C₂²	1	4	yes	—
64	#385	C₂²	1	4	yes	—
65	#385	C₂²	1	4	yes	—
66	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	#384	C₂²	1	2	yes	—
68	#380	C₂²	1	2	yes	—
69	#380	C₂²	1	4	yes	—
70	#380	C₂²	1	2	yes	—
71	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	#380	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
78	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
83	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
96	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
97	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
98	#125	—	2	16	no	—
99	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
100	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
102	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
104	#121	Q₈	1	8	yes	complemented
105	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
106	C₄×D₄	—	2	16	no	—
107	C₄×D₄	—	2	8	no	—
108	C₄×D₄	—	2	4	no	—
109	C₄×D₄	—	4	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	#95	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	2	yes	—
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	2	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	#95	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	2	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	4	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	2	no	—
180	C₂×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
182	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
237	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
238	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
239	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
240	C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
250	C₄²	—	2	8	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	#41	1	4	yes	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	2	1	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
272	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
273	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
275	Q₈	—	4	8	no	—
276	Q₈	—	8	8	no	—
277	D₄	—	2	16	no	—
278	D₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	8	8	no	—
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	D₄×Q₈	1	4	yes	—
345	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	2	2	no	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	4	no	—
361	C₄	—	4	1	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	#532	1	4	yes	—
366	C₄	#554	1	4	yes	complemented
367	C₂	—	2	4	no	—
368	C₂	—	4	4	no	—
369	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂×#554	1	1	yes	characteristic
372	C₂	Q₈×#41	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#3495	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#3520	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#554	C₂	semidirect
2. #2857	C₂	semidirect
3. #2857	C₂	semidirect
4. #2564	C₂	semidirect
5. #2556	C₂	semidirect
6. #2551	C₂	semidirect
7. #2542	C₂	semidirect
8. #2506	C₂	semidirect
9. #2492	C₂	semidirect
10. #2452	C₂	semidirect
11. #2417	C₂	semidirect
12. #2365	C₂	semidirect
13. #2360	C₂	semidirect
14. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
17. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
104. #121	Q₈	semidirect
112. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
366. C₄	#554	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#554	2
#2857	2
#2564	2
#2556	2
#2551	2
#2542	2
#2506	2
#2492	2
#2452	2
#2417	2
#2365	2
#2360	2
D₄×C₄⋊C₄	2
C₄×#121	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2