Subgroups — #365721

Order 512.

1458 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 420 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21201	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21172	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#14689	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11113	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10781	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2364	—	2	4	no	—
18	#2352	—	2	4	no	—
19	#2328	—	2	1	no	—
20	#2327	—	2	1	no	—
21	#2311	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×#124	—	2	2	no	—
23	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1962	C₄	1	8	yes	complemented
28	#1961	—	2	1	no	—
29	#1960	—	2	1	no	—
30	#1958	—	2	2	no	—
31	#1949	—	2	4	no	—
32	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
33	#1736	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
37	#1434	—	2	4	no	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	#532	—	2	2	no	—
42	#532	—	2	2	no	—
43	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	#532	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	#520	—	2	8	no	—
50	#520	—	4	4	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×#117	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#428	—	4	4	no	—
65	C₂×#107	—	2	2	no	—
66	C₂×#106	—	2	2	no	—
67	#423	—	2	2	no	—
68	#423	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×#104	—	4	4	no	—
71	C₂×#104	—	4	4	no	—
72	C₂×#104	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
73	#417	—	2	8	no	—
74	#417	—	4	4	no	—
75	C₂×#103	—	2	4	no	—
76	C₂×#102	—	2	4	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
79	C₂×#97	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
81	#391	—	2	2	no	—
82	#390	—	2	2	no	—
83	#388	—	2	8	no	—
84	#387	—	2	8	no	—
85	#386	—	2	8	no	—
86	#386	—	2	4	no	—
87	#382	—	2	1	no	—
88	#382	—	2	2	no	—
89	#382	—	2	1	no	—
90	#382	—	2	2	no	—
91	#382	—	2	1	no	—
92	#382	—	2	1	no	—
93	#380	—	2	4	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
97	#376	—	2	1	no	—
98	C₂×#95	—	2	8	no	—
99	C₂×#95	—	2	2	no	—
100	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
101	C₄³	—	2	1	no	—
102	C₄³	—	2	2	no	—
103	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
104	#343	—	4	4	no	—
105	#340	—	2	4	no	—
106	#339	—	2	4	no	—
107	#339	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
141	#127	—	2	2	no	—
142	#127	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
143	#124	—	2	4	no	—
144	#124	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
145	#121	—	2	8	no	—
146	#121	—	2	8	no	—
147	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
148	C₄×D₄	—	2	8	no	—
149	C₄×D₄	—	2	8	no	—
150	C₄×D₄	—	4	8	no	—
151	C₄×D₄	—	4	16	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	4	4	no	—
156	#117	—	4	4	no	—
157	#117	#41	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
188	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
196	#107	—	4	4	no	—
197	#106	—	4	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
199	#104	—	4	16	no	—
200	#103	—	4	8	no	—
201	#102	—	4	8	no	—
202	#97	—	4	2	no	—
203	C₄×C₈	—	4	2	no	—
204	#95	—	2	8	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	4	no	—
208	#95	—	4	16	no	—
209	#95	—	4	2	no	—
210	#95	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	—	2	2	no	—
212	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	#41	—	2	8	no	—
214	#41	—	2	8	no	—
215	#41	—	2	8	no	—
216	#41	—	2	8	no	—
217	#41	—	4	4	no	—
218	#41	—	4	4	no	—
219	#41	—	4	4	no	—
220	#41	—	4	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	8	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	8	4	no	—
234	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
258	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
272	M₁₆	—	2	8	no	—
273	M₁₆	—	2	4	no	—
274	M₁₆	—	2	4	no	—
275	M₁₆	—	4	4	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	#124	1	4	yes	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
301	C₄²	—	2	4	no	—
302	C₄²	—	2	4	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	4	16	no	—
305	C₄²	—	4	8	no	—
306	C₄²	—	4	2	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	8	4	no	—
310	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
311	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
312	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
313	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
314	C₄²	#123	1	2	yes	—
315	C₄²	#123	1	2	yes	—
316	C₂³	—	2	4	no	—
317	C₂³	—	2	4	no	—
318	C₂³	—	4	2	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	—	4	4	no	—
321	C₂³	—	4	4	no	—
322	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	#546	1	2	yes	—
326	C₂³	#550	1	2	yes	—
327	Q₈	—	2	8	no	—
328	Q₈	—	4	4	no	—
329	D₄	—	2	8	no	—
330	D₄	—	4	8	no	—
331	D₄	—	4	8	no	—
332	D₄	—	4	4	no	—
333	D₄	—	8	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	8	8	no	—
357	C₂×C₄	—	8	8	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	4	no	—
360	C₂×C₄	—	16	8	no	—
361	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
381	C₈	—	4	4	no	—
382	C₈	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	2	4	no	—
384	C₂²	—	2	4	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	2	no	—
387	C₂²	—	4	8	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	2	no	—
392	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#2363	1	2	yes	—
394	C₂²	#2431	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#2435	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#2454	1	2	yes	—
397	C₂²	#3018	1	4	yes	—
398	C₄	—	2	4	no	—
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	4	8	no	—
401	C₄	—	4	4	no	—
402	C₄	—	4	4	no	—
403	C₄	—	8	2	no	—
404	C₄	—	8	4	no	—
405	C₄	—	16	2	no	—
406	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#2328	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#2349	1	2	yes	—
409	C₄	#2420	1	2	yes	—
410	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
411	C₄	#2566	1	1	yes	characteristic
412	C₂	—	2	2	no	—
413	C₂	—	2	2	no	—
414	C₂	—	8	4	no	—
415	C₂	#13979	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#20863	1	2	yes	—
417	C₂	#25617	1	2	yes	—
418	C₂	#25877	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #21172	C₂	semidirect
5. #14689	C₂	semidirect
6. #11113	C₂	semidirect
7. #10858	C₂	semidirect
8. #10781	C₂	semidirect
9. C₄×#339	C₂	semidirect
27. #1962	C₄	semidirect
68. #423	C₂×C₄	semidirect
72. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
103. C₄³	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34208	2
C₂×#1962	2
#21201	2
#21172	2
#14689	2
#11113	2
#10858	2
#10781	2
C₄×#339	2