Subgroups — #365722

Order 512.

1446 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 449 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1963	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21201	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21172	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#14348	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11113	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10781	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#10701	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2361	—	2	4	no	—
18	#2354	—	2	2	no	—
19	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
20	#2326	—	2	2	no	—
21	#2311	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
23	C₄×#127	—	2	1	no	—
24	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1963	C₄	1	8	yes	complemented
29	#1961	—	2	1	no	—
30	#1960	—	2	1	no	—
31	#1958	—	2	2	no	—
32	#1949	—	2	2	no	—
33	#1949	—	2	2	no	—
34	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
35	#1736	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	#1442	—	2	4	no	—
39	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	2	no	—
45	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#532	Q₈	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×#121	—	2	2	no	—
51	#520	—	2	8	no	—
52	#520	—	4	4	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂×#117	—	2	2	no	—
59	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#428	—	4	4	no	—
68	C₂×#107	—	2	2	no	—
69	C₂×#106	—	2	2	no	—
70	#423	—	2	2	no	—
71	#423	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×#104	—	4	4	no	—
74	C₂×#104	—	4	4	no	—
75	C₂×#104	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
76	#417	—	2	8	no	—
77	#417	—	4	4	no	—
78	C₂×#103	—	2	4	no	—
79	C₂×#102	—	2	4	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
84	#391	—	2	2	no	—
85	#390	—	2	4	no	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#389	—	2	4	no	—
88	#388	—	2	8	no	—
89	#386	—	2	4	no	—
90	#385	—	2	8	no	—
91	#384	—	2	1	no	—
92	#384	—	2	1	no	—
93	#384	—	2	2	no	—
94	#382	—	2	2	no	—
95	#382	—	2	1	no	—
96	#382	—	2	1	no	—
97	#380	—	2	4	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
102	#376	—	2	1	no	—
103	#376	—	2	2	no	—
104	#376	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
105	C₂×#95	—	2	2	no	—
106	C₂×#95	—	2	2	no	—
107	C₂×#95	—	2	8	no	—
108	C₄³	—	2	1	no	—
109	#343	—	4	4	no	—
110	#340	—	2	2	no	—
111	#340	—	2	2	no	—
112	#339	—	2	4	no	—
113	#339	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	4	no	—
117	C₂×#41	—	2	4	no	—
118	C₂×#41	—	2	4	no	—
119	C₂×#41	—	2	4	no	—
120	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#127	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
149	#124	—	2	4	no	—
150	#124	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
151	#121	—	2	8	no	—
152	#121	—	2	8	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
154	C₄×D₄	—	2	8	no	—
155	C₄×D₄	—	2	8	no	—
156	C₄×D₄	—	4	8	no	—
157	C₄×D₄	—	4	16	no	—
158	C₄×D₄	—	8	8	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	4	4	no	—
163	#117	—	4	4	no	—
164	#117	#41	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
206	#107	—	4	4	no	—
207	#106	—	4	4	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
209	#104	—	4	16	no	—
210	#103	—	4	8	no	—
211	#102	—	4	8	no	—
212	#97	—	4	2	no	—
213	C₄×C₈	—	4	2	no	—
214	#95	—	2	8	no	—
215	#95	—	2	8	no	—
216	#95	—	2	2	no	—
217	#95	—	2	2	no	—
218	#95	—	4	2	no	—
219	#95	—	4	2	no	—
220	#95	—	8	8	no	—
221	C₂⁴	—	2	2	no	—
222	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	#41	—	2	8	no	—
224	#41	—	2	8	no	—
225	#41	—	2	8	no	—
226	#41	—	2	8	no	—
227	#41	—	4	4	no	—
228	#41	—	4	4	no	—
229	#41	—	4	4	no	—
230	#41	—	4	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
234	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	8	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
272	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
286	M₁₆	—	2	8	no	—
287	M₁₆	—	2	4	no	—
288	M₁₆	—	2	4	no	—
289	M₁₆	—	4	4	no	—
290	M₁₆	—	4	2	no	—
291	M₁₆	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
312	C₄⋊C₄	#124	1	2	yes	—
313	C₄⋊C₄	#124	1	2	yes	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
319	C₄²	—	2	4	no	—
320	C₄²	—	2	4	no	—
321	C₄²	—	2	4	no	—
322	C₄²	—	4	4	no	—
323	C₄²	—	4	8	no	—
324	C₄²	—	4	4	no	—
325	C₄²	—	4	2	no	—
326	C₄²	—	4	2	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
329	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
330	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
331	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
332	C₄²	#123	1	2	yes	—
333	C₄²	#123	1	2	yes	—
334	C₂³	—	2	2	no	—
335	C₂³	—	2	2	no	—
336	C₂³	—	2	4	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	—	4	4	no	—
340	C₂³	—	4	4	no	—
341	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
343	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	#546	1	2	yes	—
345	C₂³	#550	1	2	yes	—
346	Q₈	—	2	8	no	—
347	Q₈	—	4	4	no	—
348	D₄	—	2	8	no	—
349	D₄	—	4	16	no	—
350	D₄	—	4	8	no	—
351	D₄	—	4	8	no	—
352	D₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	8	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	2	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	8	no	—
381	C₂×C₄	—	8	8	no	—
382	C₂×C₄	—	8	2	no	—
383	C₂×C₄	—	8	2	no	—
384	C₂×C₄	—	8	2	no	—
385	C₂×C₄	—	16	8	no	—
386	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
387	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
388	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
406	C₈	—	4	4	no	—
407	C₈	—	4	4	no	—
408	C₂²	—	2	4	no	—
409	C₂²	—	2	2	no	—
410	C₂²	—	2	2	no	—
411	C₂²	—	2	2	no	—
412	C₂²	—	2	2	no	—
413	C₂²	—	4	8	no	—
414	C₂²	—	4	4	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	—	8	2	no	—
417	C₂²	—	8	2	no	—
418	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	#2363	1	2	yes	—
420	C₂²	#2431	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	#2435	1	1	yes	characteristic
422	C₂²	#2454	1	2	yes	—
423	C₂²	#3019	1	2	yes	—
424	C₂²	#3020	1	2	yes	—
425	C₄	—	2	4	no	—
426	C₄	—	2	4	no	—
427	C₄	—	4	2	no	—
428	C₄	—	4	2	no	—
429	C₄	—	4	4	no	—
430	C₄	—	8	4	no	—
431	C₄	—	8	2	no	—
432	C₄	—	8	4	no	—
433	C₄	—	16	2	no	—
434	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
435	C₄	#2328	1	1	yes	characteristic
436	C₄	#2349	1	2	yes	—
437	C₄	#2420	1	2	yes	—
438	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
439	C₄	#2566	1	1	yes	characteristic
440	C₂	—	2	2	no	—
441	C₂	—	2	2	no	—
442	C₂	—	8	4	no	—
443	C₂	#13979	1	1	yes	characteristic
444	C₂	#20864	1	2	yes	—
445	C₂	#25618	1	2	yes	—
446	C₂	#25878	1	1	yes	characteristic
447	C₂	#25879	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #21172	C₂	semidirect
5. #14348	C₂	semidirect
6. #11113	C₂	semidirect
7. #10857	C₂	semidirect
8. #10781	C₂	semidirect
9. #10701	C₂	semidirect
28. #1963	C₄	semidirect
71. #423	C₂×C₄	semidirect
75. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
104. #376	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34207	2
C₂×#1963	2
#21201	2
#21172	2
#14348	2
#11113	2
#10857	2
#10781	2
#10701	2