Subgroups — #365745

Order 512.

1706 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21172	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#14272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11135	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10749	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#10701	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2366	—	2	4	no	—
17	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
18	#2328	—	2	2	no	—
19	#2309	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×#127	—	2	2	no	—
21	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1965	C₄	1	8	yes	complemented
27	#1949	—	2	4	no	—
28	#1836	—	2	2	no	—
29	#1835	—	2	2	no	—
30	#1736	C₂²	1	4	yes	—
31	#1736	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
35	#1438	—	2	4	no	—
36	C₂³×D₄	D₄	1	4	yes	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#127	—	2	1	no	—
41	C₂×#127	—	2	1	no	—
42	C₂×#127	—	2	2	no	—
43	C₂×#127	—	2	2	no	—
44	C₂×#127	—	2	2	no	—
45	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#127	Q₈	1	4	yes	—
47	#518	—	2	8	no	—
48	#518	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#428	—	4	4	no	—
61	C₂×#107	—	2	2	no	—
62	C₂×#106	—	2	2	no	—
63	#423	—	2	2	no	—
64	#423	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×#100	—	4	4	no	—
67	C₂×#100	—	4	4	no	—
68	C₂×#100	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
69	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
70	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
71	C₂×#97	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
73	#390	—	2	8	no	—
74	#390	—	2	4	no	—
75	#390	—	2	4	no	—
76	#390	—	2	8	no	—
77	#390	—	4	4	no	—
78	#386	—	2	16	no	—
79	#384	D₄	1	2	yes	—
80	#382	—	2	1	no	—
81	#382	—	2	1	no	—
82	#382	—	2	2	no	—
83	#382	D₄	1	2	yes	—
84	#380	—	2	2	no	—
85	#379	—	2	4	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	#376	—	2	1	no	—
90	#376	—	2	2	no	—
91	#376	—	2	2	no	—
92	C₂×#95	—	2	2	no	—
93	C₂×#95	—	2	2	no	—
94	C₄³	—	2	1	no	—
95	#340	—	2	8	no	—
96	#340	—	2	4	no	—
97	#339	—	2	4	no	—
98	#339	—	2	4	no	—
99	#339	—	4	4	no	—
100	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
113	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
114	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	#127	—	2	4	no	—
134	#127	—	2	4	no	—
135	#127	—	2	8	no	—
136	#127	—	2	4	no	—
137	#127	—	2	8	no	—
138	#127	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	4	16	no	—
140	C₄×D₄	—	4	8	no	—
141	C₄×D₄	—	4	8	no	—
142	C₄×D₄	—	8	16	no	—
143	#117	—	2	2	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	2	2	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	#41	1	4	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
182	#107	—	4	4	no	—
183	#106	—	4	4	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
185	#100	—	4	16	no	—
186	#97	—	2	4	no	—
187	C₄×C₈	—	2	4	no	—
188	#95	—	2	4	no	—
189	#95	—	2	4	no	—
190	#95	—	4	2	no	—
191	#95	—	4	2	no	—
192	#95	—	4	4	no	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	2	8	no	—
196	C₂⁴	—	2	8	no	—
197	C₂⁴	—	4	16	no	—
198	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
199	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	8	no	—
203	C₂×D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	16	no	—
209	C₂×D₄	—	2	16	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	8	8	no	—
222	C₂×D₄	—	8	16	no	—
223	C₂×D₄	—	8	16	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
251	M₁₆	—	2	4	no	—
252	M₁₆	—	2	4	no	—
253	M₁₆	—	2	8	no	—
254	M₁₆	—	4	4	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	#124	1	4	yes	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	4	8	no	—
282	C₄²	—	4	2	no	—
283	C₄²	—	4	2	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	—	4	2	no	—
287	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
288	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
290	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
291	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	2	8	no	—
295	C₂³	—	2	16	no	—
296	C₂³	—	4	16	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	4	16	no	—
300	C₂³	—	4	8	no	—
301	C₂³	—	8	8	no	—
302	C₂³	—	8	8	no	—
303	C₂³	—	8	16	no	—
304	C₂³	—	8	8	no	—
305	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	#546	1	2	yes	—
309	C₂³	#546	1	2	yes	—
310	D₄	—	4	32	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	4	8	no	—
315	D₄	—	4	8	no	—
316	D₄	—	4	4	no	—
317	D₄	—	8	16	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	8	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	16	16	no	—
336	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
356	C₈	—	4	4	no	—
357	C₈	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	4	16	no	—
363	C₂²	—	4	8	no	—
364	C₂²	—	8	16	no	—
365	C₂²	—	8	8	no	—
366	C₂²	—	8	8	no	—
367	C₂²	—	16	8	no	—
368	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#2349	1	2	yes	—
370	C₂²	#2420	1	2	yes	—
371	C₂²	#2431	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2435	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#3019	1	4	yes	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	—	8	4	no	—
379	C₄	—	8	2	no	—
380	C₄	—	16	2	no	—
381	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2328	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2363	1	2	yes	—
384	C₄	#2454	1	2	yes	—
385	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2566	1	1	yes	characteristic
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	8	8	no	—
390	C₂	#13979	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#20856	1	2	yes	—
392	C₂	#25593	1	2	yes	—
393	C₂	#25878	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21172	C₂	semidirect
4. #20765	C₂	semidirect
6. #11135	C₂	semidirect
7. #10840	C₂	semidirect
8. #10749	C₂	semidirect
9. #10701	C₂	semidirect
26. #1965	C₄	semidirect
64. #423	C₂×C₄	semidirect
68. C₂×#100	C₂×C₄	semidirect
70. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34210	2
C₂×#1965	2
#21172	2
#20765	2
#14272	2
#11135	2
#10840	2
#10749	2
#10701	2