Subgroups — #36594

Order 256.

1165 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 208 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#556	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2858	C₂	1	2	yes	maximal
4	#2547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2545	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2538	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2512	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#2354	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₄²×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#556	—	2	16	no	—
13	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#126	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
27	#397	C₂²	1	8	yes	—
28	#396	C₂²	1	16	yes	—
29	#391	C₂²	1	4	yes	—
30	#390	C₂²	1	4	yes	—
31	#390	C₂²	1	2	yes	—
32	#390	C₂²	1	8	yes	—
33	#390	C₂²	1	8	yes	—
34	#389	C₂²	1	8	yes	—
35	#388	C₂²	1	16	yes	—
36	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#384	C₂²	1	4	yes	—
38	#384	C₂²	1	4	yes	—
39	#380	C₂²	1	8	yes	—
40	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
43	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
44	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
53	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
54	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
55	#127	—	2	4	no	—
56	#126	—	2	32	no	—
57	#124	—	2	16	no	—
58	#124	—	4	8	no	—
59	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
60	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
61	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
62	C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
63	C₄×D₄	—	2	8	no	—
64	C₄×D₄	—	2	16	no	—
65	#117	—	2	16	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
82	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#95	C₂³	1	4	yes	—
93	#95	C₂³	1	2	yes	—
94	#95	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
96	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
97	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
99	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
100	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂×D₄	—	2	8	no	—
103	C₂×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂×D₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
109	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
119	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
122	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
128	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
130	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
131	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
134	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
135	C₄²	—	2	16	no	—
136	C₄²	—	2	8	no	—
137	C₄²	—	2	4	no	—
138	C₄²	—	2	2	no	—
139	C₄²	—	2	4	no	—
140	C₄²	—	2	8	no	—
141	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₄²	#41	1	8	yes	—
144	C₄²	#41	1	4	yes	—
145	C₂³	—	2	4	no	—
146	C₂³	—	2	8	no	—
147	C₂³	—	2	4	no	—
148	C₂³	—	2	4	no	—
149	C₂³	—	2	8	no	—
150	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
151	Q₈	—	2	8	no	—
152	Q₈	—	4	16	no	—
153	D₄	—	4	8	no	—
154	D₄	—	4	16	no	—
155	C₂×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄	—	4	16	no	—
169	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
175	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
176	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
177	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
178	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
179	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
180	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
181	C₂²	—	4	4	no	—
182	C₂²	—	4	4	no	—
183	C₂²	—	4	8	no	—
184	C₂²	—	4	4	no	—
185	C₂²	—	4	8	no	—
186	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
188	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
189	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
190	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
191	C₄	—	2	4	no	—
192	C₄	—	2	4	no	—
193	C₄	—	2	2	no	—
194	C₄	—	2	4	no	—
195	C₄	—	4	4	no	—
196	C₄	—	4	8	no	—
197	C₄	—	4	4	no	—
198	C₄	#532	1	4	yes	—
199	C₄	#550	1	4	yes	—
200	C₄	#556	1	8	yes	complemented
201	C₂	—	8	4	no	—
202	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
203	C₂	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
204	C₂	C₂×#556	1	2	yes	—
205	C₂	#3499	1	1	yes	characteristic
206	C₂	#3511	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#556	C₂	semidirect
2. #2868	C₂	semidirect
4. #2547	C₂	semidirect
5. #2545	C₂	semidirect
6. #2538	C₂	semidirect
7. #2512	C₂	semidirect
8. #2354	C₂	semidirect
9. C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
11. C₄²×Q₈	C₂	semidirect
62. C₄×Q₈	D₄	semidirect
200. C₄	#556	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#556	2
#2868	2
#2858	2
#2547	2
#2545	2
#2538	2
#2512	2
#2354	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
C₄×#127	2
C₄²×Q₈	2