Subgroups — #36704

Order 256.

1509 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2849	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2688	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2686	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2673	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2671	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2613	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2484	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2482	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2412	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2410	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2406	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2404	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2308	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#535	—	2	8	no	—
22	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#121	—	2	8	no	—
27	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	#400	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#399	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#394	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#393	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#392	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#386	C₂²	1	2	yes	—
59	#386	C₂²	1	2	yes	—
60	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#385	C₂²	1	2	yes	—
67	#385	C₂²	1	2	yes	—
68	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	#381	C₂²	1	2	yes	—
73	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
74	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
75	#379	C₂²	1	2	yes	—
76	#379	C₂²	1	2	yes	—
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#41	—	2	4	no	—
81	C₂×#41	—	4	4	no	—
82	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
86	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
87	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
88	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
89	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
102	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	#127	—	2	8	no	—
110	#124	—	2	8	no	—
111	#123	—	4	8	no	—
112	#123	—	4	4	no	—
113	#121	—	2	16	no	—
114	#121	—	2	16	no	—
115	#121	—	2	8	no	—
116	#121	—	2	8	no	—
117	#121	—	4	8	no	—
118	#120	—	2	8	no	—
119	#120	—	2	8	no	—
120	#120	—	4	4	no	—
121	#117	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	2	yes	—
156	#95	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	2	yes	—
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	4	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	#95	C₂³	1	4	yes	—
162	#95	C₂³	1	4	yes	—
163	C₂⁴	—	2	4	no	—
164	C₂⁴	—	2	4	no	—
165	C₂⁴	—	2	2	no	—
166	C₂⁴	—	2	4	no	—
167	C₂⁴	—	4	2	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	—	4	2	no	—
170	C₂⁴	—	4	2	no	—
171	C₂⁴	—	4	2	no	—
172	C₂⁴	—	4	2	no	—
173	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	#41	—	4	16	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	16	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	16	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
213	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
231	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	8	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	16	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	8	8	no	—
300	C₂³	—	8	8	no	—
301	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
302	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
303	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
305	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	4	4	no	—
307	D₄	—	4	8	no	—
308	D₄	—	4	8	no	—
309	D₄	—	4	16	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	16	no	—
312	D₄	—	4	8	no	—
313	D₄	—	8	4	no	—
314	D₄	—	8	4	no	—
315	D₄	—	8	4	no	—
316	D₄	—	8	4	no	—
317	D₄	—	8	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	16	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	8	no	—
346	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	8	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	4	16	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	8	8	no	—
374	C₂²	—	8	8	no	—
375	C₂²	#534	1	4	yes	—
376	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
378	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
379	C₂²	#585	1	2	yes	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	4	2	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	4	4	no	—
390	C₂	—	2	4	no	—
391	C₂	—	4	4	no	—
392	C₂	—	4	4	no	—
393	C₂	—	8	2	no	—
394	C₂	—	8	2	no	—
395	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#3542	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#535	C₂	semidirect
2. C₂²×#121	C₂	semidirect
3. #2849	C₂	semidirect
4. #2688	C₂	semidirect
5. #2686	C₂	semidirect
6. #2673	C₂	semidirect
7. #2671	C₂	semidirect
8. #2613	C₂	semidirect
9. #2484	C₂	semidirect
10. #2482	C₂	semidirect
11. #2412	C₂	semidirect
12. #2410	C₂	semidirect
13. #2406	C₂	semidirect
14. #2404	C₂	semidirect
15. #2308	C₂	semidirect
22. C₂×#127	C₂²	semidirect
23. C₂×#124	C₂²	semidirect
25. C₂×#123	C₂²	semidirect
29. C₂×#121	C₂²	semidirect
30. C₂×#121	C₂²	semidirect
31. C₂×#121	C₂²	semidirect
40. #400	C₂²	semidirect
41. #399	C₂²	semidirect
42. #398	C₂²	semidirect
43. #397	C₂²	semidirect
44. #397	C₂²	semidirect
45. #395	C₂²	semidirect
46. #394	C₂²	semidirect
47. #394	C₂²	semidirect
48. #394	C₂²	semidirect
49. #394	C₂²	semidirect
50. #394	C₂²	semidirect
51. #393	C₂²	semidirect
52. #392	C₂²	semidirect
53. #392	C₂²	semidirect
54. #392	C₂²	semidirect
55. #392	C₂²	semidirect
56. #388	C₂²	semidirect
57. #387	C₂²	semidirect
60. #386	C₂²	semidirect
61. #386	C₂²	semidirect
62. #386	C₂²	semidirect
63. #386	C₂²	semidirect
64. #386	C₂²	semidirect
65. #386	C₂²	semidirect
68. #385	C₂²	semidirect
69. #385	C₂²	semidirect
73. #381	C₂²	semidirect
74. #380	C₂²	semidirect
88. C₂²×D₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#535	2
C₂²×#121	2
#2849	2
#2688	2
#2686	2
#2673	2
#2671	2
#2613	2
#2484	2
#2482	2
#2412	2
#2410	2
#2406	2
#2404	2
#2308	2