Subgroups — #36707

Order 256.

1391 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 270 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2692	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2676	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2618	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2539	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2406	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2404	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#537	—	2	8	no	—
16	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#399	C₂²	1	4	yes	—
32	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#393	C₂²	1	4	yes	—
38	#393	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#392	C₂²	1	4	yes	—
40	#392	C₂²	1	4	yes	—
41	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#390	C₂²	1	8	yes	—
43	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#386	C₂²	1	4	yes	—
45	#386	C₂²	1	8	yes	—
46	#386	C₂²	1	4	yes	—
47	#386	C₂²	1	8	yes	—
48	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#381	C₂²	1	2	yes	—
50	#380	C₂²	1	2	yes	—
51	#380	C₂²	1	4	yes	—
52	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#41	—	2	8	no	—
55	C₂×#41	—	4	8	no	—
56	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
58	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
66	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#124	—	4	8	no	—
76	#123	—	4	8	no	—
77	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
78	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
79	#121	—	2	8	no	—
80	#121	—	2	8	no	—
81	#121	—	2	16	no	—
82	#121	—	4	8	no	—
83	#120	—	4	8	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
106	#95	C₂³	1	4	yes	—
107	#95	C₂³	1	8	yes	—
108	#95	C₂³	1	4	yes	—
109	#95	C₂³	1	4	yes	—
110	#95	C₂³	1	4	yes	—
111	#95	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂⁴	—	2	2	no	—
113	C₂⁴	—	2	4	no	—
114	C₂⁴	—	2	4	no	—
115	C₂⁴	—	4	2	no	—
116	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
117	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
118	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	#41	—	4	32	no	—
120	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
123	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
124	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
125	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
126	C₂×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂×D₄	—	2	8	no	—
128	C₂×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂×D₄	—	2	16	no	—
130	C₂×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	4	4	no	—
134	C₂×D₄	—	4	8	no	—
135	C₂×D₄	—	4	4	no	—
136	C₂×D₄	—	4	8	no	—
137	C₂×D₄	—	4	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
171	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
181	C₄²	—	4	4	no	—
182	C₂³	—	2	2	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	8	no	—
185	C₂³	—	2	2	no	—
186	C₂³	—	2	4	no	—
187	C₂³	—	2	4	no	—
188	C₂³	—	2	2	no	—
189	C₂³	—	2	4	no	—
190	C₂³	—	2	8	no	—
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	—	2	4	no	—
193	C₂³	—	2	8	no	—
194	C₂³	—	4	16	no	—
195	C₂³	—	4	4	no	—
196	C₂³	—	4	4	no	—
197	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
198	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
199	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
200	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
201	Q₈	—	4	16	no	—
202	Q₈	—	4	8	no	—
203	D₄	—	4	8	no	—
204	D₄	—	4	16	no	—
205	D₄	—	8	4	no	—
206	D₄	—	8	4	no	—
207	D₄	—	8	16	no	—
208	C₂×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂×C₄	—	4	16	no	—
228	C₂×C₄	—	4	16	no	—
229	C₂×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
232	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
233	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
234	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
235	C₂²	—	2	2	no	—
236	C₂²	—	2	2	no	—
237	C₂²	—	2	8	no	—
238	C₂²	—	2	4	no	—
239	C₂²	—	2	8	no	—
240	C₂²	—	4	16	no	—
241	C₂²	—	4	2	no	—
242	C₂²	—	4	2	no	—
243	C₂²	—	4	4	no	—
244	C₂²	—	4	4	no	—
245	C₂²	—	4	4	no	—
246	C₂²	—	4	4	no	—
247	C₂²	—	4	8	no	—
248	C₂²	—	4	8	no	—
249	C₂²	#535	1	4	yes	—
250	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
252	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
253	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
254	C₄	—	2	4	no	—
255	C₄	—	2	4	no	—
256	C₄	—	2	4	no	—
257	C₄	—	2	4	no	—
258	C₄	—	4	2	no	—
259	C₄	—	4	4	no	—
260	C₄	—	4	2	no	—
261	C₄	—	4	8	no	—
262	C₂	—	2	4	no	—
263	C₂	—	4	4	no	—
264	C₂	—	8	4	no	—
265	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
266	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
267	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
268	C₂	#3536	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#537	C₂	semidirect
2. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2847	C₂	semidirect
4. #2692	C₂	semidirect
5. #2676	C₂	semidirect
6. #2618	C₂	semidirect
7. #2539	C₂	semidirect
8. #2436	C₂	semidirect
9. #2406	C₂	semidirect
10. #2404	C₂	semidirect
11. #2313	C₂	semidirect
16. C₂×#124	C₂²	semidirect
20. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
24. C₂×#121	C₂²	semidirect
32. #398	C₂²	semidirect
33. #396	C₂²	semidirect
34. #395	C₂²	semidirect
35. #394	C₂²	semidirect
36. #394	C₂²	semidirect
38. #393	C₂²	semidirect
41. #391	C₂²	semidirect
43. #387	C₂²	semidirect
48. #385	C₂²	semidirect
86. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#537	2
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
#2847	2
#2692	2
#2676	2
#2618	2
#2539	2
#2436	2
#2406	2
#2404	2
#2313	2