Subgroups — #36714

Order 256.

2085 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#534	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2846	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2697	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2679	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2678	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2622	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2411	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2405	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2403	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	#534	—	2	8	no	—
17	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#120	—	2	8	no	—
22	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#397	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#379	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
51	C₂⁵	—	2	4	no	—
52	C₂⁵	—	4	8	no	—
53	C₂⁵	—	4	4	no	—
54	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
59	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
62	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
63	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
64	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
65	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	complemented
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	complemented
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
77	#123	—	2	8	no	—
78	#123	—	2	8	no	—
79	#123	—	4	8	no	—
80	#121	—	2	16	no	—
81	#120	—	2	8	no	—
82	#120	—	2	16	no	—
83	#120	—	2	16	no	—
84	#120	—	2	8	no	—
85	#120	—	4	8	no	—
86	#120	—	4	16	no	—
87	#120	—	4	8	no	—
88	#117	—	4	4	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	complemented
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
109	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	complemented
110	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
111	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
112	C₂⁴	—	2	4	no	—
113	C₂⁴	—	2	8	no	—
114	C₂⁴	—	2	4	no	—
115	C₂⁴	—	2	4	no	—
116	C₂⁴	—	2	8	no	—
117	C₂⁴	—	2	16	no	—
118	C₂⁴	—	2	8	no	—
119	C₂⁴	—	2	2	no	—
120	C₂⁴	—	4	4	no	—
121	C₂⁴	—	4	4	no	—
122	C₂⁴	—	4	8	no	—
123	C₂⁴	—	4	4	no	—
124	C₂⁴	—	4	4	no	—
125	C₂⁴	—	4	4	no	—
126	C₂⁴	—	4	2	no	—
127	C₂⁴	—	4	4	no	—
128	C₂⁴	—	4	32	no	—
129	C₂⁴	—	4	16	no	—
130	C₂⁴	—	4	64	no	—
131	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂×D₄	—	2	8	no	—
140	C₂×D₄	—	2	8	no	—
141	C₂×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂×D₄	—	2	8	no	—
145	C₂×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂×D₄	—	2	8	no	—
147	C₂×D₄	—	2	16	no	—
148	C₂×D₄	—	4	16	no	—
149	C₂×D₄	—	4	2	no	—
150	C₂×D₄	—	4	2	no	—
151	C₂×D₄	—	4	2	no	—
152	C₂×D₄	—	4	2	no	—
153	C₂×D₄	—	4	4	no	—
154	C₂×D₄	—	4	4	no	—
155	C₂×D₄	—	4	4	no	—
156	C₂×D₄	—	4	8	no	—
157	C₂×D₄	—	4	8	no	—
158	C₂×D₄	—	4	8	no	—
159	C₂×D₄	—	4	32	no	—
160	C₂×D₄	—	4	16	no	—
161	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₄²	—	4	4	no	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	2	16	no	—
196	C₂³	—	2	8	no	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	2	4	no	—
199	C₂³	—	2	4	no	—
200	C₂³	—	2	8	no	—
201	C₂³	—	2	8	no	—
202	C₂³	—	2	8	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	2	8	no	—
209	C₂³	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	2	8	no	—
211	C₂³	—	2	4	no	—
212	C₂³	—	4	8	no	—
213	C₂³	—	4	8	no	—
214	C₂³	—	4	32	no	—
215	C₂³	—	4	32	no	—
216	C₂³	—	4	16	no	—
217	C₂³	—	4	8	no	—
218	C₂³	—	4	16	no	—
219	C₂³	—	4	16	no	—
220	C₂³	—	4	32	no	—
221	C₂³	—	4	4	no	—
222	C₂³	—	4	128	no	—
223	C₂³	—	4	16	no	—
224	C₂³	—	4	8	no	—
225	C₂³	—	8	8	no	—
226	C₂³	—	8	4	no	—
227	C₂³	—	8	8	no	—
228	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
229	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
233	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
234	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
235	D₄	—	4	8	no	—
236	D₄	—	4	8	no	—
237	D₄	—	4	16	no	—
238	D₄	—	4	16	no	—
239	D₄	—	4	8	no	—
240	D₄	—	4	8	no	—
241	D₄	—	8	8	no	—
242	D₄	—	8	16	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂×C₄	—	8	4	no	—
259	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	C₂²	—	2	4	no	—
261	C₂²	—	2	8	no	—
262	C₂²	—	2	2	no	—
263	C₂²	—	2	2	no	—
264	C₂²	—	2	4	no	—
265	C₂²	—	2	4	no	—
266	C₂²	—	2	8	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	8	no	—
269	C₂²	—	2	16	no	—
270	C₂²	—	4	32	no	—
271	C₂²	—	4	16	no	—
272	C₂²	—	4	64	no	—
273	C₂²	—	4	4	no	—
274	C₂²	—	4	4	no	—
275	C₂²	—	4	4	no	—
276	C₂²	—	4	8	no	—
277	C₂²	—	4	4	no	—
278	C₂²	—	4	4	no	—
279	C₂²	—	4	4	no	—
280	C₂²	—	4	2	no	—
281	C₂²	—	4	4	no	—
282	C₂²	—	4	8	no	—
283	C₂²	—	8	8	no	—
284	C₂²	—	8	8	no	—
285	C₂²	#534	1	4	yes	—
286	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
288	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
289	C₄	—	2	4	no	—
290	C₄	—	4	2	no	—
291	C₄	—	4	4	no	—
292	C₄	—	4	4	no	—
293	C₄	—	4	8	no	—
294	C₂	—	2	4	no	—
295	C₂	—	4	4	no	—
296	C₂	—	4	8	no	—
297	C₂	—	4	2	no	—
298	C₂	—	4	2	no	—
299	C₂	—	8	2	no	—
300	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#3484	1	2	yes	—
302	C₂	#3532	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#534	C₂	semidirect
2. C₂²×#120	C₂	semidirect
3. #2846	C₂	semidirect
4. #2697	C₂	semidirect
5. #2679	C₂	semidirect
6. #2678	C₂	semidirect
7. #2622	C₂	semidirect
8. #2411	C₂	semidirect
9. #2405	C₂	semidirect
10. #2403	C₂	semidirect
11. #2309	C₂	semidirect
12. C₂⁶	C₂²	semidirect
15. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
17. C₂×#123	C₂²	semidirect
18. C₂×#123	C₂²	semidirect
19. C₂×#123	C₂²	semidirect
20. C₂×#121	C₂²	semidirect
25. C₂×#120	C₂²	semidirect
26. C₂×#120	C₂²	semidirect
27. C₂×#120	C₂²	semidirect
28. C₂×#120	C₂²	semidirect
29. C₂×#117	C₂²	semidirect
30. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
31. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
32. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
33. #397	C₂²	semidirect
34. #396	C₂²	semidirect
35. #394	C₂²	semidirect
36. #394	C₂²	semidirect
37. #394	C₂²	semidirect
38. #392	C₂²	semidirect
39. #390	C₂²	semidirect
40. #390	C₂²	semidirect
41. #390	C₂²	semidirect
42. #388	C₂²	semidirect
43. #386	C₂²	semidirect
44. #386	C₂²	semidirect
45. #386	C₂²	semidirect
46. #385	C₂²	semidirect
47. #379	C₂²	semidirect
48. #379	C₂²	semidirect
49. #379	C₂²	semidirect
50. #379	C₂²	semidirect
58. C₂⁵	C₂³	semidirect
64. C₂²×D₄	D₄	semidirect
72. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
75. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
76. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
89. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
90. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
91. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
104. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
105. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
106. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
107. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
108. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
109. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
110. #95	C₂³	semidirect
111. #95	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#534	2
C₂²×#120	2
#2846	2
#2697	2
#2679	2
#2678	2
#2622	2
#2411	2
#2405	2
#2403	2
#2309	2