Subgroups — #36717

Order 256.

1697 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 317 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#534	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2703	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2669	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2617	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2591	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2433	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2403	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2403	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	#534	—	2	8	no	—
18	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×#121	—	2	8	no	—
21	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#379	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
62	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
63	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
64	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
75	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#127	—	4	8	no	—
83	#123	—	2	16	no	—
84	#121	—	2	8	no	—
85	#121	—	2	8	no	—
86	#121	—	2	32	no	—
87	#121	—	4	8	no	—
88	#120	—	2	16	no	—
89	#120	—	4	8	no	—
90	#120	—	4	8	no	—
91	#120	—	4	8	no	—
92	#120	—	4	8	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
112	#95	C₂³	1	4	yes	—
113	#95	C₂³	1	8	yes	—
114	#95	C₂³	1	4	yes	—
115	#95	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂⁴	—	2	2	no	—
117	C₂⁴	—	2	4	no	—
118	C₂⁴	—	2	4	no	—
119	C₂⁴	—	2	2	no	—
120	C₂⁴	—	2	4	no	—
121	C₂⁴	—	2	4	no	—
122	C₂⁴	—	2	4	no	—
123	C₂⁴	—	4	2	no	—
124	C₂⁴	—	4	2	no	—
125	C₂⁴	—	4	2	no	—
126	C₂⁴	—	4	2	no	—
127	C₂⁴	—	4	2	no	—
128	C₂⁴	—	4	4	no	—
129	C₂⁴	—	4	4	no	—
130	C₂⁴	—	4	4	no	—
131	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
136	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₂×D₄	—	2	8	no	—
138	C₂×D₄	—	2	8	no	—
139	C₂×D₄	—	2	8	no	—
140	C₂×D₄	—	2	8	no	—
141	C₂×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂×D₄	—	2	8	no	—
143	C₂×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂×D₄	—	2	8	no	—
145	C₂×D₄	—	2	16	no	—
146	C₂×D₄	—	2	8	no	—
147	C₂×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂×D₄	—	4	4	no	—
151	C₂×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂×D₄	—	4	4	no	—
153	C₂×D₄	—	4	4	no	—
154	C₂×D₄	—	4	4	no	—
155	C₂×D₄	—	4	16	no	—
156	C₂×D₄	—	4	8	no	—
157	C₂×D₄	—	4	8	no	—
158	C₂×D₄	—	4	8	no	—
159	C₂×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	8	no	—
161	C₂×D₄	—	4	4	no	—
162	C₂×D₄	—	4	8	no	—
163	C₂×D₄	—	4	16	no	—
164	C₂×D₄	—	4	16	no	—
165	C₂×D₄	—	4	32	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
201	C₄²	—	4	4	no	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	8	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	2	4	no	—
209	C₂³	—	2	4	no	—
210	C₂³	—	2	4	no	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	8	no	—
213	C₂³	—	2	4	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	8	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	8	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	4	4	no	—
223	C₂³	—	4	4	no	—
224	C₂³	—	4	16	no	—
225	C₂³	—	4	4	no	—
226	C₂³	—	4	4	no	—
227	C₂³	—	4	4	no	—
228	C₂³	—	4	8	no	—
229	C₂³	—	4	4	no	—
230	C₂³	—	4	4	no	—
231	C₂³	—	8	8	no	—
232	C₂³	—	8	8	no	—
233	C₂³	—	8	4	no	—
234	C₂³	—	8	4	no	—
235	C₂³	—	8	16	no	—
236	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
238	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
239	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
240	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
241	D₄	—	4	16	no	—
242	D₄	—	4	16	no	—
243	D₄	—	4	16	no	—
244	D₄	—	4	16	no	—
245	D₄	—	4	16	no	—
246	D₄	—	8	4	no	—
247	D₄	—	8	4	no	—
248	D₄	—	8	16	no	—
249	D₄	—	8	16	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	16	no	—
266	C₂×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	8	no	—
274	C₂²	—	2	4	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	2	4	no	—
277	C₂²	—	2	4	no	—
278	C₂²	—	2	8	no	—
279	C₂²	—	4	16	no	—
280	C₂²	—	4	2	no	—
281	C₂²	—	4	2	no	—
282	C₂²	—	4	4	no	—
283	C₂²	—	4	8	no	—
284	C₂²	—	4	4	no	—
285	C₂²	—	4	2	no	—
286	C₂²	—	4	2	no	—
287	C₂²	—	4	2	no	—
288	C₂²	—	4	4	no	—
289	C₂²	—	4	4	no	—
290	C₂²	—	4	8	no	—
291	C₂²	—	4	8	no	—
292	C₂²	—	4	8	no	—
293	C₂²	—	8	8	no	—
294	C₂²	—	8	8	no	—
295	C₂²	—	8	16	no	—
296	C₂²	#535	1	4	yes	—
297	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
299	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
301	C₄	—	2	4	no	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	2	4	no	—
304	C₄	—	4	4	no	—
305	C₄	—	4	2	no	—
306	C₄	—	4	8	no	—
307	C₂	—	2	4	no	—
308	C₂	—	4	4	no	—
309	C₂	—	4	4	no	—
310	C₂	—	8	4	no	—
311	C₂	—	8	2	no	—
312	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#3537	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#534	C₂	semidirect
2. C₂²×#121	C₂	semidirect
3. #2847	C₂	semidirect
4. #2703	C₂	semidirect
5. #2669	C₂	semidirect
6. #2617	C₂	semidirect
7. #2591	C₂	semidirect
8. #2433	C₂	semidirect
9. #2403	C₂	semidirect
10. #2403	C₂	semidirect
11. #2312	C₂	semidirect
15. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
16. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
18. C₂×#127	C₂²	semidirect
19. C₂×#123	C₂²	semidirect
23. C₂×#121	C₂²	semidirect
24. C₂×#121	C₂²	semidirect
25. C₂×#120	C₂²	semidirect
26. C₂×#120	C₂²	semidirect
27. C₂×#120	C₂²	semidirect
28. C₂×#120	C₂²	semidirect
29. C₂×#120	C₂²	semidirect
30. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
32. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
33. #400	C₂²	semidirect
34. #397	C₂²	semidirect
35. #394	C₂²	semidirect
36. #394	C₂²	semidirect
37. #392	C₂²	semidirect
38. #392	C₂²	semidirect
39. #392	C₂²	semidirect
40. #392	C₂²	semidirect
41. #390	C₂²	semidirect
42. #388	C₂²	semidirect
43. #388	C₂²	semidirect
44. #386	C₂²	semidirect
45. #386	C₂²	semidirect
46. #386	C₂²	semidirect
47. #386	C₂²	semidirect
48. #386	C₂²	semidirect
49. #380	C₂²	semidirect
50. #380	C₂²	semidirect
52. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
99. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#534	2
C₂²×#121	2
#2847	2
#2703	2
#2669	2
#2617	2
#2591	2
#2433	2
#2403	2
#2312	2