Subgroups — #36720

Order 256.

1225 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 259 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#543	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2848	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2687	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2680	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2627	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2561	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2502	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2483	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2405	C₂	1	2	yes	maximal
11	#2312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#543	—	2	8	no	—
15	C₂×#123	—	2	8	no	—
16	C₂×#123	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#398	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#398	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#397	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#394	C₂²	1	8	yes	—
36	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#386	C₂²	1	4	yes	—
41	#385	C₂²	1	4	yes	—
42	#385	C₂²	1	4	yes	—
43	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#384	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#381	C₂²	1	4	yes	—
47	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#380	C₂²	1	2	yes	—
49	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#379	C₂²	1	4	yes	—
51	#379	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
58	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
59	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
61	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#123	—	2	32	no	—
71	#123	—	4	8	no	—
72	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
73	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
74	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
75	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
76	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
103	#95	C₂³	1	4	yes	—
104	#95	C₂³	1	4	yes	—
105	#95	C₂³	1	8	yes	—
106	#95	C₂³	1	8	yes	—
107	#95	C₂³	1	8	yes	—
108	#95	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂⁴	—	2	2	no	—
110	C₂⁴	—	2	4	no	—
111	C₂⁴	—	2	4	no	—
112	C₂⁴	—	2	4	no	—
113	C₂⁴	—	4	2	no	—
114	C₂⁴	—	4	2	no	—
115	C₂⁴	—	4	2	no	—
116	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
118	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
119	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
123	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
124	C₂×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂×D₄	—	4	4	no	—
127	C₂×D₄	—	4	16	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
144	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
162	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
173	C₄²	—	4	4	no	—
174	C₂³	—	2	2	no	—
175	C₂³	—	2	2	no	—
176	C₂³	—	2	8	no	—
177	C₂³	—	2	2	no	—
178	C₂³	—	2	4	no	—
179	C₂³	—	2	2	no	—
180	C₂³	—	2	4	no	—
181	C₂³	—	2	4	no	—
182	C₂³	—	2	4	no	—
183	C₂³	—	2	4	no	—
184	C₂³	—	2	8	no	—
185	C₂³	—	4	4	no	—
186	C₂³	—	4	4	no	—
187	C₂³	—	4	16	no	—
188	C₂³	—	4	4	no	—
189	C₂³	—	4	4	no	—
190	C₂³	—	8	8	no	—
191	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
192	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
193	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
194	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
195	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
196	Q₈	—	8	4	no	—
197	Q₈	—	8	4	no	—
198	D₄	—	4	16	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂×C₄	—	4	16	no	—
217	C₂×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂×C₄	—	8	4	no	—
221	C₂×C₄	—	8	4	no	—
222	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
223	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
224	C₂²	—	2	2	no	—
225	C₂²	—	2	2	no	—
226	C₂²	—	2	8	no	—
227	C₂²	—	2	4	no	—
228	C₂²	—	2	4	no	—
229	C₂²	—	2	4	no	—
230	C₂²	—	2	4	no	—
231	C₂²	—	2	8	no	—
232	C₂²	—	4	16	no	—
233	C₂²	—	4	2	no	—
234	C₂²	—	4	2	no	—
235	C₂²	—	4	4	no	—
236	C₂²	—	4	8	no	—
237	C₂²	—	8	8	no	—
238	C₂²	#536	1	4	yes	—
239	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
241	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
242	C₂²	#585	1	2	yes	—
243	C₄	—	2	4	no	—
244	C₄	—	2	4	no	—
245	C₄	—	4	2	no	—
246	C₄	—	4	2	no	—
247	C₄	—	4	2	no	—
248	C₄	—	4	4	no	—
249	C₄	—	4	4	no	—
250	C₄	—	4	8	no	—
251	C₂	—	2	4	no	—
252	C₂	—	4	4	no	—
253	C₂	—	4	4	no	—
254	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
255	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
256	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
257	C₂	#3535	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#543	C₂	semidirect
3. #2848	C₂	semidirect
4. #2687	C₂	semidirect
5. #2680	C₂	semidirect
6. #2627	C₂	semidirect
7. #2561	C₂	semidirect
8. #2502	C₂	semidirect
9. #2483	C₂	semidirect
11. #2312	C₂	semidirect
20. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
22. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
29. #400	C₂²	semidirect
30. #398	C₂²	semidirect
31. #398	C₂²	semidirect
32. #397	C₂²	semidirect
33. #397	C₂²	semidirect
34. #395	C₂²	semidirect
36. #393	C₂²	semidirect
37. #391	C₂²	semidirect
38. #388	C₂²	semidirect
39. #388	C₂²	semidirect
43. #385	C₂²	semidirect
44. #385	C₂²	semidirect
45. #384	C₂²	semidirect
47. #381	C₂²	semidirect
49. #380	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#543	2
C₂²×#123	2
#2848	2
#2687	2
#2680	2
#2627	2
#2561	2
#2502	2
#2483	2
#2405	2
#2312	2