Subgroups — #36721

Order 256.

1485 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 289 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#534	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2706	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2678	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2618	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2539	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2504	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2405	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2403	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	#534	—	2	8	no	—
16	C₂×#123	—	2	8	no	—
17	C₂×#123	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#397	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#392	C₂²	1	8	yes	—
38	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#382	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#379	C₂²	1	2	yes	—
51	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
52	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
58	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
59	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
67	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#123	—	2	32	no	—
76	#123	—	2	16	no	—
77	#123	—	4	8	no	—
78	#121	—	2	8	no	—
79	#121	—	2	8	no	—
80	#121	—	4	8	no	—
81	#120	—	2	16	no	—
82	#120	—	4	8	no	—
83	#120	—	4	8	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
108	#95	C₂³	1	4	yes	—
109	#95	C₂³	1	8	yes	—
110	#95	C₂³	1	4	yes	—
111	#95	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂⁴	—	2	2	no	—
113	C₂⁴	—	2	4	no	—
114	C₂⁴	—	2	4	no	—
115	C₂⁴	—	2	4	no	—
116	C₂⁴	—	2	4	no	—
117	C₂⁴	—	4	2	no	—
118	C₂⁴	—	4	2	no	—
119	C₂⁴	—	4	4	no	—
120	C₂⁴	—	4	2	no	—
121	C₂⁴	—	4	4	no	—
122	C₂⁴	—	4	4	no	—
123	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
127	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂×D₄	—	2	8	no	—
131	C₂×D₄	—	2	8	no	—
132	C₂×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂×D₄	—	2	16	no	—
135	C₂×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂×D₄	—	4	4	no	—
138	C₂×D₄	—	4	4	no	—
139	C₂×D₄	—	4	4	no	—
140	C₂×D₄	—	4	8	no	—
141	C₂×D₄	—	4	4	no	—
142	C₂×D₄	—	4	4	no	—
143	C₂×D₄	—	4	8	no	—
144	C₂×D₄	—	4	16	no	—
145	C₂×D₄	—	4	32	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
186	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
187	C₄²	—	4	4	no	—
188	C₂³	—	2	2	no	—
189	C₂³	—	2	2	no	—
190	C₂³	—	2	8	no	—
191	C₂³	—	2	2	no	—
192	C₂³	—	2	4	no	—
193	C₂³	—	2	4	no	—
194	C₂³	—	2	2	no	—
195	C₂³	—	2	4	no	—
196	C₂³	—	2	4	no	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	2	8	no	—
199	C₂³	—	2	4	no	—
200	C₂³	—	2	4	no	—
201	C₂³	—	2	8	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	2	8	no	—
204	C₂³	—	4	4	no	—
205	C₂³	—	4	4	no	—
206	C₂³	—	4	16	no	—
207	C₂³	—	4	4	no	—
208	C₂³	—	4	8	no	—
209	C₂³	—	4	4	no	—
210	C₂³	—	8	8	no	—
211	C₂³	—	8	4	no	—
212	C₂³	—	8	4	no	—
213	C₂³	—	8	16	no	—
214	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
215	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
217	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
218	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
219	D₄	—	4	16	no	—
220	D₄	—	4	16	no	—
221	D₄	—	4	16	no	—
222	D₄	—	8	4	no	—
223	D₄	—	8	4	no	—
224	D₄	—	8	16	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	16	no	—
242	C₂×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
247	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²	—	2	2	no	—
249	C₂²	—	2	2	no	—
250	C₂²	—	2	8	no	—
251	C₂²	—	2	4	no	—
252	C₂²	—	2	4	no	—
253	C₂²	—	2	4	no	—
254	C₂²	—	2	4	no	—
255	C₂²	—	2	8	no	—
256	C₂²	—	4	16	no	—
257	C₂²	—	4	2	no	—
258	C₂²	—	4	2	no	—
259	C₂²	—	4	4	no	—
260	C₂²	—	4	8	no	—
261	C₂²	—	4	4	no	—
262	C₂²	—	4	4	no	—
263	C₂²	—	4	4	no	—
264	C₂²	—	4	8	no	—
265	C₂²	—	4	8	no	—
266	C₂²	—	8	8	no	—
267	C₂²	—	8	16	no	—
268	C₂²	#535	1	4	yes	—
269	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
271	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
272	C₂²	#585	1	2	yes	—
273	C₄	—	2	4	no	—
274	C₄	—	2	4	no	—
275	C₄	—	4	2	no	—
276	C₄	—	4	4	no	—
277	C₄	—	4	2	no	—
278	C₄	—	4	2	no	—
279	C₄	—	4	8	no	—
280	C₂	—	2	4	no	—
281	C₂	—	4	4	no	—
282	C₂	—	4	4	no	—
283	C₂	—	8	4	no	—
284	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
285	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
287	C₂	#3534	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#534	C₂	semidirect
2. C₂²×#123	C₂	semidirect
3. #2847	C₂	semidirect
4. #2706	C₂	semidirect
5. #2678	C₂	semidirect
6. #2618	C₂	semidirect
7. #2539	C₂	semidirect
8. #2504	C₂	semidirect
9. #2405	C₂	semidirect
10. #2403	C₂	semidirect
11. #2312	C₂	semidirect
14. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
17. C₂×#123	C₂²	semidirect
18. C₂×#123	C₂²	semidirect
19. C₂×#123	C₂²	semidirect
22. C₂×#121	C₂²	semidirect
23. C₂×#120	C₂²	semidirect
24. C₂×#120	C₂²	semidirect
25. C₂×#120	C₂²	semidirect
26. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
27. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
30. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
31. #399	C₂²	semidirect
32. #398	C₂²	semidirect
33. #397	C₂²	semidirect
34. #396	C₂²	semidirect
35. #394	C₂²	semidirect
36. #394	C₂²	semidirect
38. #392	C₂²	semidirect
39. #390	C₂²	semidirect
40. #390	C₂²	semidirect
41. #388	C₂²	semidirect
42. #386	C₂²	semidirect
43. #386	C₂²	semidirect
44. #386	C₂²	semidirect
45. #386	C₂²	semidirect
46. #385	C₂²	semidirect
47. #382	C₂²	semidirect
48. #380	C₂²	semidirect
49. #380	C₂²	semidirect
51. #379	C₂²	semidirect
52. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
94. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#534	2
C₂²×#123	2
#2847	2
#2706	2
#2678	2
#2618	2
#2539	2
#2504	2
#2405	2
#2403	2
#2312	2