Subgroups — #367295

Order 512.

1316 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 409 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1931	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11144	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1965	C₄	1	8	yes	complemented
24	#1961	—	2	2	no	—
25	#1957	—	2	2	no	—
26	#1957	—	2	2	no	—
27	#1957	—	2	1	no	—
28	#1957	—	2	1	no	—
29	#1931	—	2	16	no	—
30	#1847	—	2	2	no	—
31	#1845	—	2	1	no	—
32	#1844	—	2	1	no	—
33	#1770	—	2	2	no	—
34	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
35	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
38	#1729	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
40	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#127	—	2	2	no	—
47	C₂×#127	—	2	1	no	—
48	C₂×#127	—	2	1	no	—
49	C₂×#127	—	2	2	no	—
50	C₂×#127	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#428	—	2	8	no	—
58	#428	—	4	4	no	—
59	C₂×#107	—	2	4	no	—
60	C₂×#106	—	2	4	no	—
61	#423	—	2	2	no	—
62	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	#418	—	2	8	no	—
65	#418	—	4	4	no	—
66	C₂×#102	—	2	8	no	—
67	C₂×#102	—	2	4	no	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	2	no	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	C₂×#102	—	2	4	no	—
72	C₂×#102	—	4	4	no	—
73	C₂×#100	—	2	8	no	—
74	C₂×#100	—	2	8	no	—
75	C₂×#100	C₂×C₄	1	16	yes	—
76	#405	—	2	8	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×#97	—	2	1	no	—
82	C₂×#97	—	2	2	no	—
83	C₂×#97	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
91	#384	—	2	1	no	—
92	#384	—	2	1	no	—
93	#384	—	2	2	no	—
94	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
95	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
96	#382	D₄	1	2	yes	—
97	#380	—	2	2	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
99	#343	—	2	8	no	—
100	#341	—	2	4	no	—
101	#341	D₄	1	8	yes	complemented
102	#336	—	2	4	no	—
103	C₂⁵	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
119	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	#127	—	2	4	no	—
154	#127	—	2	4	no	—
155	#127	—	2	8	no	—
156	#127	—	4	4	no	—
157	#127	—	4	2	no	—
158	#127	—	4	2	no	—
159	#117	—	2	4	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
181	#107	—	4	8	no	—
182	#106	—	4	8	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
184	#102	—	4	8	no	—
185	#102	—	4	8	no	—
186	#102	—	4	8	no	—
187	#102	—	4	4	no	—
188	#102	—	4	4	no	—
189	#100	—	2	32	no	—
190	#97	—	2	4	no	—
191	#97	—	4	4	no	—
192	#97	—	4	2	no	—
193	C₄×C₈	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	4	no	—
196	C₄×C₈	—	4	4	no	—
197	C₄×C₈	—	4	2	no	—
198	#95	—	2	4	no	—
199	C₂⁴	—	2	4	no	—
200	C₂⁴	—	4	2	no	—
201	C₂⁴	—	4	2	no	—
202	C₂⁴	—	4	4	no	—
203	C₂⁴	—	4	4	no	—
204	C₂⁴	—	8	4	no	—
205	C₂⁴	—	8	4	no	—
206	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	8	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	4	8	no	—
227	C₂×D₄	—	8	4	no	—
228	C₂×D₄	—	8	4	no	—
229	C₂×D₄	—	8	16	no	—
230	C₂×D₄	—	8	16	no	—
231	C₂×D₄	—	8	4	no	—
232	C₂×D₄	—	8	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
240	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	#126	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
254	M₁₆	—	2	4	no	—
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	2	4	no	—
257	M₁₆	—	2	8	no	—
258	M₁₆	—	2	4	no	—
259	M₁₆	—	2	4	no	—
260	M₁₆	—	4	4	no	—
261	M₁₆	—	4	2	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	M₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄²	—	4	2	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
299	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
300	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
301	C₄²	#123	1	4	yes	—
302	C₄²	#124	1	2	yes	—
303	C₄²	#124	1	2	yes	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	4	8	no	—
308	C₂³	—	8	8	no	—
309	C₂³	—	8	8	no	—
310	C₂³	—	8	4	no	—
311	C₂³	—	8	2	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	—	8	4	no	—
314	C₂³	—	8	4	no	—
315	C₂³	—	16	4	no	—
316	C₂³	—	16	4	no	—
317	C₂³	—	16	8	no	—
318	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	#550	1	2	yes	—
322	C₂³	#556	1	2	yes	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	4	8	no	—
326	D₄	—	8	16	no	—
327	D₄	—	8	16	no	—
328	D₄	—	8	4	no	—
329	D₄	—	8	2	no	—
330	D₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	16	4	no	—
342	C₂×C₄	#388	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#388	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#472	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
364	C₈	—	2	8	no	—
365	C₈	—	2	2	no	—
366	C₈	—	2	2	no	—
367	C₈	—	4	4	no	—
368	C₈	—	4	4	no	—
369	C₈	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	8	8	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	16	8	no	—
378	C₂²	—	16	8	no	—
379	C₂²	—	16	2	no	—
380	C₂²	—	16	2	no	—
381	C₂²	—	16	4	no	—
382	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2354	1	2	yes	—
384	C₂²	#2512	1	2	yes	—
385	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#2545	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
388	C₂²	C₂×#472	1	2	yes	—
389	C₄	—	2	4	no	—
390	C₄	—	8	2	no	—
391	C₄	—	8	2	no	—
392	C₄	—	16	2	no	—
393	C₄	#1931	1	8	yes	complemented
394	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#2361	1	2	yes	—
397	C₄	#2491	1	2	yes	—
398	C₄	#2500	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
400	C₂	—	2	2	no	—
401	C₂	—	2	2	no	—
402	C₂	—	16	4	no	—
403	C₂	#14001	1	1	yes	characteristic
404	C₂	C₂×#1931	1	2	yes	—
405	C₂	#28494	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#28497	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#28670	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1931	C₂	semidirect
5. #20800	C₂	semidirect
6. #20437	C₂	semidirect
7. #11144	C₂	semidirect
8. #10857	C₂	semidirect
9. C₄×#341	C₂	semidirect
23. #1965	C₄	semidirect
101. #341	D₄	semidirect
393. C₄	#1931	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1965	2
#21203	2
C₂×#1957	2
C₂×#1931	2
#20800	2
#20437	2
#11144	2
#10857	2
C₄×#341	2