Subgroups — #367300

Order 512.

1184 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 433 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1932	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₄×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11146	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1967	C₄	1	4	yes	complemented
24	#1966	C₄	1	2	yes	complemented
25	#1965	C₄	1	2	yes	complemented
26	#1963	—	2	2	no	—
27	#1962	—	2	2	no	—
28	#1962	—	2	2	no	—
29	#1962	—	2	2	no	—
30	#1932	—	2	16	no	—
31	#1849	—	2	2	no	—
32	#1848	—	2	2	no	—
33	#1767	—	2	2	no	—
34	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
35	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	#1728	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	#532	—	2	2	no	—
45	#532	—	2	1	no	—
46	#532	—	2	1	no	—
47	#532	—	2	1	no	—
48	#532	—	2	1	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#430	—	2	8	no	—
61	#430	—	4	4	no	—
62	C₂×#108	—	2	8	no	—
63	#423	—	2	2	no	—
64	#423	—	2	2	no	—
65	#423	—	2	1	no	—
66	#423	—	2	1	no	—
67	#423	—	2	2	no	—
68	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#423	D₄	1	2	yes	—
71	#423	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	#421	—	2	8	no	—
76	#421	—	4	4	no	—
77	C₂×#104	—	2	8	no	—
78	C₂×#104	—	2	8	no	—
79	C₂×#104	—	2	4	no	—
80	C₂×#104	—	2	2	no	—
81	C₂×#104	—	2	2	no	—
82	C₂×#104	—	4	4	no	—
83	#413	—	2	8	no	—
84	#413	—	2	8	no	—
85	C₂×#101	C₂×C₄	1	8	yes	—
86	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
87	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
88	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
89	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
90	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×#97	—	2	1	no	—
93	C₂×#97	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
98	#376	—	2	1	no	—
99	C₄³	—	2	1	no	—
100	C₄³	—	2	1	no	—
101	C₄³	—	2	1	no	—
102	C₄³	D₄	1	2	yes	—
103	C₄³	D₄	1	2	yes	—
104	#344	—	2	8	no	—
105	#339	—	2	4	no	—
106	#339	D₄	1	8	yes	complemented
107	#336	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	—	2	4	no	—
115	C₂×#41	—	2	4	no	—
116	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	1	no	—
151	#127	—	2	1	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#124	—	2	2	no	—
154	#124	—	2	2	no	—
155	#124	—	2	4	no	—
156	#121	—	4	2	no	—
157	#121	—	4	2	no	—
158	#121	—	4	2	no	—
159	#121	—	4	2	no	—
160	C₄×D₄	—	4	2	no	—
161	C₄×D₄	—	4	2	no	—
162	C₄×D₄	—	4	2	no	—
163	C₄×D₄	—	4	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
197	#108	—	4	16	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
203	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
204	#104	—	4	16	no	—
205	#104	—	4	8	no	—
206	#104	—	4	4	no	—
207	#104	—	4	4	no	—
208	#101	—	2	16	no	—
209	#100	—	2	16	no	—
210	#97	—	2	2	no	—
211	#97	—	2	2	no	—
212	#97	—	4	4	no	—
213	C₄×C₈	—	2	2	no	—
214	C₄×C₈	—	2	2	no	—
215	C₄×C₈	—	4	4	no	—
216	#95	—	4	2	no	—
217	C₂⁴	—	2	2	no	—
218	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	#41	—	4	2	no	—
220	#41	—	4	4	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	#41	—	4	4	no	—
225	#41	—	4	4	no	—
226	#41	—	4	4	no	—
227	#41	—	4	4	no	—
228	#41	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	8	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
274	M₁₆	—	2	4	no	—
275	M₁₆	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	2	4	no	—
277	M₁₆	—	2	8	no	—
278	M₁₆	—	2	8	no	—
279	M₁₆	—	4	4	no	—
280	M₁₆	—	4	4	no	—
281	M₁₆	—	4	2	no	—
282	M₁₆	—	4	2	no	—
283	M₁₆	—	4	4	no	—
284	M₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄²	—	2	8	no	—
305	C₄²	—	2	1	no	—
306	C₄²	—	2	1	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	2	2	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	4	4	no	—
312	C₄²	—	4	4	no	—
313	C₄²	—	4	4	no	—
314	C₄²	—	4	2	no	—
315	C₄²	—	4	2	no	—
316	C₄²	—	8	4	no	—
317	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
322	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
323	C₄²	#121	1	2	yes	—
324	C₄²	#121	1	2	yes	—
325	C₄²	#126	1	2	yes	—
326	C₄²	#126	1	2	yes	—
327	C₄²	#127	1	2	yes	—
328	C₄²	#127	1	2	yes	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	4	no	—
332	C₂³	—	8	4	no	—
333	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
334	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
335	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
336	C₂³	#547	1	2	yes	—
337	C₂³	#555	1	2	yes	—
338	Q₈	—	4	2	no	—
339	Q₈	—	4	2	no	—
340	Q₈	—	4	4	no	—
341	D₄	—	4	2	no	—
342	D₄	—	4	2	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	8	4	no	—
345	D₄	—	8	4	no	—
346	D₄	—	8	2	no	—
347	D₄	—	8	2	no	—
348	D₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	8	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	8	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	4	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
393	C₈	—	2	8	no	—
394	C₈	—	4	4	no	—
395	C₈	—	4	4	no	—
396	C₈	—	8	2	no	—
397	C₂²	—	2	2	no	—
398	C₂²	—	2	2	no	—
399	C₂²	—	2	2	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	—	8	4	no	—
403	C₂²	—	8	2	no	—
404	C₂²	—	16	4	no	—
405	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#2354	1	2	yes	—
407	C₂²	#2491	1	2	yes	—
408	C₂²	#2500	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
410	C₄	—	2	4	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	2	2	no	—
414	C₄	—	4	2	no	—
415	C₄	—	4	4	no	—
416	C₄	—	8	4	no	—
417	C₄	—	8	2	no	—
418	C₄	#1932	1	4	yes	complemented
419	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
420	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
421	C₄	#2361	1	2	yes	—
422	C₄	#2512	1	2	yes	—
423	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
424	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
425	C₂	—	2	1	no	—
426	C₂	—	2	1	no	—
427	C₂	—	2	2	no	—
428	C₂	—	2	2	no	—
429	C₂	—	16	2	no	—
430	C₂	#14001	1	1	yes	characteristic
431	C₂	C₂×#1932	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#388
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1932	C₂	semidirect
5. #20806	C₂	semidirect
6. C₄×#423	C₂	semidirect
7. #11146	C₂	semidirect
8. #10856	C₂	semidirect
9. C₄×#339	C₂	semidirect
23. #1967	C₄	semidirect
24. #1966	C₄	semidirect
25. #1965	C₄	semidirect
106. #339	D₄	semidirect
418. C₄	#1932	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21218	2
#21209	2
C₂×#1962	2
C₂×#1932	2
#20806	2
C₄×#423	2
#11146	2
#10856	2
C₄×#339	2