Subgroups — #367301

Order 512.

1126 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1963	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1932	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20429	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11146	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10701	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1967	C₄	1	4	yes	complemented
24	#1966	C₄	1	2	yes	complemented
25	#1965	C₄	1	2	yes	complemented
26	#1963	—	2	2	no	—
27	#1963	—	2	4	no	—
28	#1962	—	2	2	no	—
29	#1932	—	2	16	no	—
30	#1849	—	2	2	no	—
31	#1848	—	2	2	no	—
32	#1768	—	2	4	no	—
33	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	#1728	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	#532	—	2	1	no	—
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	1	no	—
45	#532	—	2	1	no	—
46	#532	—	2	1	no	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#121	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#430	—	2	8	no	—
58	#430	—	4	4	no	—
59	C₂×#108	—	2	8	no	—
60	#423	—	2	2	no	—
61	#423	—	2	2	no	—
62	#423	—	2	1	no	—
63	#423	—	2	1	no	—
64	#423	—	2	2	no	—
65	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#423	D₄	1	2	yes	—
68	#423	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	#421	—	2	8	no	—
73	#421	—	4	4	no	—
74	C₂×#104	—	2	8	no	—
75	C₂×#104	—	2	8	no	—
76	C₂×#104	—	2	4	no	—
77	C₂×#104	—	2	4	no	—
78	C₂×#104	—	4	4	no	—
79	#413	—	2	8	no	—
80	#413	—	2	8	no	—
81	C₂×#101	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
84	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
85	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
86	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×#97	—	2	1	no	—
89	C₂×#97	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	#376	—	2	1	no	—
95	#376	—	2	1	no	—
96	#376	—	2	1	no	—
97	#376	D₄	1	4	yes	—
98	C₂×#95	—	2	2	no	—
99	C₄³	—	2	1	no	—
100	#344	—	2	8	no	—
101	#339	—	2	4	no	—
102	#339	D₄	1	8	yes	complemented
103	#336	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	#127	—	2	1	no	—
147	#127	—	2	1	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#124	—	2	2	no	—
150	#124	—	2	2	no	—
151	#124	—	2	4	no	—
152	#121	—	4	2	no	—
153	#121	—	4	2	no	—
154	#121	—	4	2	no	—
155	#121	—	4	2	no	—
156	C₄×D₄	—	4	2	no	—
157	C₄×D₄	—	4	2	no	—
158	C₄×D₄	—	4	2	no	—
159	C₄×D₄	—	4	2	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
187	#108	—	4	16	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
194	#104	—	4	16	no	—
195	#104	—	4	8	no	—
196	#104	—	4	8	no	—
197	#101	—	2	16	no	—
198	#100	—	2	16	no	—
199	#97	—	2	2	no	—
200	#97	—	2	2	no	—
201	#97	—	4	4	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	4	4	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	4	2	no	—
208	C₂⁴	—	2	2	no	—
209	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	#41	—	4	2	no	—
215	#41	—	4	4	no	—
216	#41	—	4	4	no	—
217	#41	—	4	4	no	—
218	#41	—	4	4	no	—
219	#41	—	4	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	8	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	2	8	no	—
268	M₁₆	—	2	8	no	—
269	M₁₆	—	4	4	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	2	no	—
273	M₁₆	—	4	4	no	—
274	M₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	4	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	4	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	—	8	4	no	—
302	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
307	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
308	C₄²	#121	1	2	yes	—
309	C₄²	#121	1	2	yes	—
310	C₄²	#126	1	2	yes	—
311	C₄²	#126	1	2	yes	—
312	C₄²	#127	1	4	yes	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	8	4	no	—
317	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	#547	1	2	yes	—
321	C₂³	#555	1	2	yes	—
322	Q₈	—	4	2	no	—
323	Q₈	—	4	2	no	—
324	Q₈	—	4	4	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	4	2	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	8	4	no	—
329	D₄	—	8	4	no	—
330	D₄	—	8	4	no	—
331	D₄	—	8	2	no	—
332	D₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	4	no	—
347	C₂×C₄	—	8	4	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
374	C₈	—	2	8	no	—
375	C₈	—	4	4	no	—
376	C₈	—	4	4	no	—
377	C₈	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	8	4	no	—
384	C₂²	—	8	2	no	—
385	C₂²	—	16	4	no	—
386	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#2354	1	2	yes	—
388	C₂²	#2491	1	2	yes	—
389	C₂²	#2500	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	8	2	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	—	8	2	no	—
399	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#2361	1	2	yes	—
402	C₄	#2512	1	2	yes	—
403	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
405	C₂	—	2	1	no	—
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	2	1	no	—
408	C₂	—	2	2	no	—
409	C₂	—	16	2	no	—
410	C₂	#14001	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#21080	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#388
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1932	C₂	semidirect
5. #20806	C₂	semidirect
6. #20429	C₂	semidirect
7. #11146	C₂	semidirect
8. #10856	C₂	semidirect
9. #10701	C₂	semidirect
23. #1967	C₄	semidirect
24. #1966	C₄	semidirect
25. #1965	C₄	semidirect
102. #339	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21218	2
#21209	2
C₂×#1963	2
C₂×#1932	2
#20806	2
#20429	2
#11146	2
#10856	2
#10701	2