Subgroups — #367351

Order 512.

1110 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 428 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21257	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20755	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11191	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10930	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10853	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1983	C₄	1	4	yes	complemented
23	#1982	C₄	1	2	yes	complemented
24	#1981	C₄	1	2	yes	complemented
25	#1962	—	2	4	no	—
26	#1955	—	2	2	no	—
27	#1954	—	2	2	no	—
28	#1832	—	2	2	no	—
29	#1831	—	2	2	no	—
30	#1767	—	2	4	no	—
31	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	#1729	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	#532	—	2	2	no	—
42	#532	—	2	2	no	—
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#121	—	2	1	no	—
49	C₂×#121	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
54	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#423	—	2	2	no	—
59	#423	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×#104	—	2	4	no	—
71	C₂×#104	—	2	4	no	—
72	C₂×#104	—	2	8	no	—
73	C₂×#104	—	4	4	no	—
74	#416	—	4	4	no	—
75	#416	—	4	4	no	—
76	C₂×#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#408	—	2	8	no	—
79	#408	—	4	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
83	C₂×#97	—	2	4	no	—
84	C₂×#97	—	2	1	no	—
85	C₂×#97	—	4	4	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
91	#376	—	2	1	no	—
92	C₄³	—	2	1	no	—
93	C₄³	—	2	2	no	—
94	C₄³	D₄	1	4	yes	—
95	#341	—	4	4	no	—
96	#339	—	2	4	no	—
97	#339	—	2	4	no	—
98	#336	—	2	8	no	—
99	#336	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	#127	—	2	2	no	—
144	#127	—	2	2	no	—
145	#124	—	2	4	no	—
146	#124	—	2	4	no	—
147	#121	—	4	2	no	—
148	#121	—	4	2	no	—
149	#121	—	4	2	no	—
150	#121	—	4	2	no	—
151	C₄×D₄	—	4	2	no	—
152	C₄×D₄	—	4	2	no	—
153	C₄×D₄	—	4	2	no	—
154	C₄×D₄	—	4	2	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
188	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
194	#104	—	4	8	no	—
195	#104	—	4	8	no	—
196	#103	—	4	8	no	—
197	#102	—	4	8	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
199	#97	—	4	8	no	—
200	#97	—	4	2	no	—
201	C₄×C₈	—	4	2	no	—
202	#95	—	2	2	no	—
203	#95	—	2	2	no	—
204	C₂⁴	—	2	2	no	—
205	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
206	#41	—	4	2	no	—
207	#41	—	4	4	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	#41	—	4	2	no	—
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	4	no	—
213	#41	—	4	4	no	—
214	#41	—	4	4	no	—
215	#41	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	8	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	2	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	8	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	8	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	4	8	no	—
301	C₄²	—	4	8	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	—	4	2	no	—
305	C₄²	—	4	4	no	—
306	C₄²	—	8	2	no	—
307	C₄²	#117	1	2	yes	—
308	C₄²	#117	1	2	yes	—
309	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
310	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
311	C₄²	#121	1	2	yes	—
312	C₄²	#121	1	2	yes	—
313	C₄²	#124	1	4	yes	—
314	C₄²	#124	1	2	yes	—
315	C₄²	#124	1	2	yes	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	2	2	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	4	4	no	—
320	C₂³	—	4	4	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	#553	1	2	yes	—
326	C₂³	#555	1	2	yes	—
327	Q₈	—	4	2	no	—
328	Q₈	—	4	4	no	—
329	Q₈	—	4	2	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	2	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	2	no	—
335	D₄	—	8	2	no	—
336	D₄	—	8	4	no	—
337	D₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
384	C₈	—	4	4	no	—
385	C₈	—	4	4	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₈	—	8	2	no	—
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	2	1	no	—
391	C₂²	—	2	1	no	—
392	C₂²	—	2	1	no	—
393	C₂²	—	2	1	no	—
394	C₂²	—	8	8	no	—
395	C₂²	—	8	2	no	—
396	C₂²	—	8	2	no	—
397	C₂²	—	8	2	no	—
398	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#2363	1	2	yes	—
400	C₂²	#2500	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#2504	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#2513	1	2	yes	—
403	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
404	C₂²	#2956	1	2	yes	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	2	2	no	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	4	4	no	—
409	C₄	—	4	4	no	—
410	C₄	—	8	4	no	—
411	C₄	—	8	2	no	—
412	C₄	#1938	1	4	yes	—
413	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
414	C₄	#2328	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#2357	1	2	yes	—
416	C₄	#2490	1	2	yes	—
417	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
419	C₂	—	2	1	no	—
420	C₂	—	2	1	no	—
421	C₂	—	2	2	no	—
422	C₂	—	16	2	no	—
423	C₂	#14002	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₂×#1938	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#21099	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#23114	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20755	C₂	semidirect
5. C₂×#1767	C₂	semidirect
6. #11191	C₂	semidirect
7. #10930	C₂	semidirect
8. #10853	C₂	semidirect
9. C₄×#339	C₂	semidirect
22. #1983	C₄	semidirect
23. #1982	C₄	semidirect
24. #1981	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21257	2
C₂×#1962	2
#21189	2
#20755	2
C₂×#1767	2
#11191	2
#10930	2
#10853	2
C₄×#339	2