Subgroups — #367369

Order 512.

1216 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20764	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11163	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10943	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1965	C₄	1	8	yes	complemented
23	#1961	—	2	2	no	—
24	#1957	—	2	2	no	—
25	#1957	—	2	2	no	—
26	#1957	—	2	2	no	—
27	#1836	—	2	2	no	—
28	#1834	—	2	2	no	—
29	#1770	—	2	2	no	—
30	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
31	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
34	#1736	C₂²	1	4	yes	—
35	#1729	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#127	—	2	2	no	—
44	C₂×#127	—	2	1	no	—
45	C₂×#127	—	2	1	no	—
46	C₂×#127	—	2	2	no	—
47	C₂×#127	—	2	2	no	—
48	C₂×#127	—	2	2	no	—
49	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#423	—	2	2	no	—
55	#423	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
57	#418	—	2	8	no	—
58	#418	—	4	4	no	—
59	C₂×#102	—	2	4	no	—
60	C₂×#102	—	2	2	no	—
61	C₂×#102	—	2	2	no	—
62	C₂×#102	—	2	8	no	—
63	C₂×#102	—	2	8	no	—
64	C₂×#102	—	4	4	no	—
65	C₂×#100	—	4	4	no	—
66	C₂×#100	—	4	4	no	—
67	C₂×#100	C₂×C₄	1	16	yes	—
68	#405	—	4	4	no	—
69	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
70	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
71	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
72	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#97	—	2	1	no	—
74	C₂×#97	—	2	2	no	—
75	C₂×#97	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
83	#384	—	2	1	no	—
84	#384	—	2	1	no	—
85	#384	—	2	2	no	—
86	#384	D₄	1	2	yes	—
87	#382	D₄	1	2	yes	—
88	#380	—	2	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	#343	—	4	4	no	—
91	#341	—	2	4	no	—
92	#341	—	2	4	no	—
93	#340	—	2	8	no	—
94	#336	—	2	4	no	—
95	C₂⁵	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
111	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
145	#127	—	2	4	no	—
146	#127	—	2	4	no	—
147	#127	—	2	8	no	—
148	#127	—	4	4	no	—
149	#127	—	4	2	no	—
150	#127	—	4	2	no	—
151	#117	—	2	4	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
172	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
173	#102	—	4	16	no	—
174	#102	—	4	8	no	—
175	#102	—	4	4	no	—
176	#102	—	4	4	no	—
177	#100	—	4	16	no	—
178	#97	—	2	4	no	—
179	#97	—	4	4	no	—
180	#97	—	4	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	4	no	—
182	C₄×C₈	—	2	4	no	—
183	C₄×C₈	—	2	4	no	—
184	C₄×C₈	—	4	4	no	—
185	C₄×C₈	—	4	2	no	—
186	#95	—	2	4	no	—
187	C₂⁴	—	2	4	no	—
188	C₂⁴	—	4	2	no	—
189	C₂⁴	—	4	2	no	—
190	C₂⁴	—	4	4	no	—
191	C₂⁴	—	4	4	no	—
192	C₂⁴	—	8	4	no	—
193	C₂⁴	—	8	4	no	—
194	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	8	no	—
198	C₂×D₄	—	2	8	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	8	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	8	4	no	—
216	C₂×D₄	—	8	4	no	—
217	C₂×D₄	—	8	16	no	—
218	C₂×D₄	—	8	16	no	—
219	C₂×D₄	—	8	4	no	—
220	C₂×D₄	—	8	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
227	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#126	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
241	M₁₆	—	2	4	no	—
242	M₁₆	—	2	4	no	—
243	M₁₆	—	2	8	no	—
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	4	2	no	—
248	M₁₆	—	4	2	no	—
249	M₁₆	—	4	2	no	—
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄²	—	4	2	no	—
283	C₄²	—	4	2	no	—
284	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
285	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
287	C₄²	#123	1	4	yes	—
288	C₄²	#124	1	2	yes	—
289	C₄²	#124	1	2	yes	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	8	no	—
294	C₂³	—	8	8	no	—
295	C₂³	—	8	8	no	—
296	C₂³	—	8	4	no	—
297	C₂³	—	8	2	no	—
298	C₂³	—	8	2	no	—
299	C₂³	—	8	4	no	—
300	C₂³	—	8	4	no	—
301	C₂³	—	16	4	no	—
302	C₂³	—	16	4	no	—
303	C₂³	—	16	8	no	—
304	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	#559	1	2	yes	—
308	C₂³	#559	1	2	yes	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	8	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	8	16	no	—
313	D₄	—	8	16	no	—
314	D₄	—	8	4	no	—
315	D₄	—	8	2	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	—	16	4	no	—
327	C₂×C₄	#388	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#388	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#472	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₈	—	4	4	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	8	8	no	—
361	C₂²	—	8	4	no	—
362	C₂²	—	16	8	no	—
363	C₂²	—	16	8	no	—
364	C₂²	—	16	2	no	—
365	C₂²	—	16	2	no	—
366	C₂²	—	16	4	no	—
367	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2357	1	2	yes	—
369	C₂²	#2513	1	2	yes	—
370	C₂²	#2544	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
373	C₂²	C₂×#472	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	8	4	no	—
376	C₄	—	16	2	no	—
377	C₄	#1931	1	8	yes	—
378	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2328	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2363	1	2	yes	—
381	C₄	#2490	1	2	yes	—
382	C₄	#2500	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2504	1	1	yes	characteristic
384	C₂	—	2	2	no	—
385	C₂	—	2	2	no	—
386	C₂	—	16	4	no	—
387	C₂	#14002	1	1	yes	characteristic
388	C₂	C₂×#1931	1	2	yes	—
389	C₂	#28632	1	2	yes	—
390	C₂	#28763	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#28764	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20764	C₂	semidirect
5. #20437	C₂	semidirect
6. #11163	C₂	semidirect
7. #10943	C₂	semidirect
8. #10857	C₂	semidirect
9. C₄×#341	C₂	semidirect
22. #1965	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1965	2
#21203	2
C₂×#1957	2
#20764	2
#20437	2
#11163	2
#10943	2
#10857	2
C₄×#341	2