Subgroups — #367374

Order 512.

1084 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 429 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20769	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11165	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10946	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1967	C₄	1	4	yes	complemented
23	#1966	C₄	1	2	yes	complemented
24	#1965	C₄	1	2	yes	complemented
25	#1963	—	2	2	no	—
26	#1962	—	2	2	no	—
27	#1962	—	2	2	no	—
28	#1962	—	2	2	no	—
29	#1838	—	2	2	no	—
30	#1837	—	2	2	no	—
31	#1767	—	2	2	no	—
32	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
33	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
34	#1738	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	#1728	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	1	no	—
45	#532	—	2	1	no	—
46	#532	—	2	1	no	—
47	#532	—	2	1	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#423	—	2	2	no	—
60	#423	—	2	2	no	—
61	#423	—	2	1	no	—
62	#423	—	2	1	no	—
63	#423	—	2	2	no	—
64	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#423	D₄	1	2	yes	—
67	#423	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	#421	—	2	8	no	—
72	#421	—	4	4	no	—
73	C₂×#104	—	2	8	no	—
74	C₂×#104	—	2	4	no	—
75	C₂×#104	—	2	2	no	—
76	C₂×#104	—	2	2	no	—
77	C₂×#104	—	2	8	no	—
78	C₂×#104	—	4	4	no	—
79	#413	—	4	4	no	—
80	#413	—	4	4	no	—
81	C₂×#101	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
84	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
85	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
86	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×#97	—	2	1	no	—
89	C₂×#97	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	#376	—	2	1	no	—
95	C₄³	—	2	1	no	—
96	C₄³	—	2	1	no	—
97	C₄³	—	2	1	no	—
98	C₄³	D₄	1	2	yes	—
99	C₄³	D₄	1	2	yes	—
100	#344	—	4	4	no	—
101	#341	—	2	8	no	—
102	#339	—	2	4	no	—
103	#339	—	2	4	no	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	#127	—	2	1	no	—
148	#127	—	2	1	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#124	—	2	2	no	—
151	#124	—	2	2	no	—
152	#124	—	2	4	no	—
153	#121	—	4	2	no	—
154	#121	—	4	2	no	—
155	#121	—	4	2	no	—
156	#121	—	4	2	no	—
157	C₄×D₄	—	4	2	no	—
158	C₄×D₄	—	4	2	no	—
159	C₄×D₄	—	4	2	no	—
160	C₄×D₄	—	4	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	#41	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
180	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
199	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
200	#104	—	4	16	no	—
201	#104	—	4	8	no	—
202	#104	—	4	4	no	—
203	#104	—	4	4	no	—
204	#101	—	4	8	no	—
205	#100	—	4	8	no	—
206	#97	—	2	2	no	—
207	#97	—	2	2	no	—
208	#97	—	4	4	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	C₄×C₈	—	4	4	no	—
212	#95	—	4	2	no	—
213	C₂⁴	—	2	2	no	—
214	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	#41	—	4	2	no	—
216	#41	—	4	4	no	—
217	#41	—	4	2	no	—
218	#41	—	4	2	no	—
219	#41	—	4	2	no	—
220	#41	—	4	4	no	—
221	#41	—	4	4	no	—
222	#41	—	4	4	no	—
223	#41	—	4	4	no	—
224	#41	—	4	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	M₁₆	—	2	4	no	—
272	M₁₆	—	2	8	no	—
273	M₁₆	—	2	8	no	—
274	M₁₆	—	4	4	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	M₁₆	—	4	4	no	—
278	M₁₆	—	4	2	no	—
279	M₁₆	—	4	2	no	—
280	M₁₆	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄²	—	2	8	no	—
301	C₄²	—	2	1	no	—
302	C₄²	—	2	1	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	2	4	no	—
307	C₄²	—	4	4	no	—
308	C₄²	—	4	4	no	—
309	C₄²	—	4	4	no	—
310	C₄²	—	4	2	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	8	4	no	—
313	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
318	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
319	C₄²	#121	1	2	yes	—
320	C₄²	#121	1	2	yes	—
321	C₄²	#124	1	2	yes	—
322	C₄²	#124	1	2	yes	—
323	C₄²	#126	1	2	yes	—
324	C₄²	#126	1	2	yes	—
325	C₂³	—	4	2	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	4	no	—
328	C₂³	—	8	4	no	—
329	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	#553	1	2	yes	—
333	C₂³	#553	1	2	yes	—
334	Q₈	—	4	2	no	—
335	Q₈	—	4	4	no	—
336	Q₈	—	4	2	no	—
337	D₄	—	4	2	no	—
338	D₄	—	4	4	no	—
339	D₄	—	4	2	no	—
340	D₄	—	8	4	no	—
341	D₄	—	8	4	no	—
342	D₄	—	8	2	no	—
343	D₄	—	8	2	no	—
344	D₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	4	no	—
364	C₂×C₄	—	8	4	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
389	C₈	—	4	4	no	—
390	C₈	—	4	4	no	—
391	C₈	—	4	4	no	—
392	C₈	—	8	2	no	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	4	2	no	—
397	C₂²	—	4	2	no	—
398	C₂²	—	8	4	no	—
399	C₂²	—	8	2	no	—
400	C₂²	—	16	4	no	—
401	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#2357	1	2	yes	—
403	C₂²	#2490	1	2	yes	—
404	C₂²	#2500	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#2504	1	1	yes	characteristic
406	C₄	—	2	4	no	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	2	2	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	4	4	no	—
412	C₄	—	8	4	no	—
413	C₄	—	8	2	no	—
414	C₄	#1932	1	4	yes	—
415	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#2328	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#2363	1	2	yes	—
418	C₄	#2513	1	2	yes	—
419	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
420	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
421	C₂	—	2	1	no	—
422	C₂	—	2	1	no	—
423	C₂	—	2	2	no	—
424	C₂	—	2	2	no	—
425	C₂	—	16	2	no	—
426	C₂	#14002	1	1	yes	characteristic
427	C₂	C₂×#1932	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#388
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20769	C₂	semidirect
5. C₄×#423	C₂	semidirect
6. #11165	C₂	semidirect
7. #10946	C₂	semidirect
8. #10856	C₂	semidirect
9. C₄×#339	C₂	semidirect
22. #1967	C₄	semidirect
23. #1966	C₄	semidirect
24. #1965	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21218	2
#21209	2
C₂×#1962	2
#20769	2
C₄×#423	2
#11165	2
#10946	2
#10856	2
C₄×#339	2