Subgroups — #368940

Order 512.

1130 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60192	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11214	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10904	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₄⋊#338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#344	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3166	—	2	2	no	—
13	#3166	—	2	2	no	—
14	#3166	—	2	2	no	—
15	#3166	—	2	2	no	—
16	C₂×#501	C₄	1	4	yes	complemented
17	C₂×#499	C₄	1	4	yes	complemented
18	Q₈×M₁₆	—	2	4	no	—
19	#2962	—	2	4	no	—
20	#2961	—	2	2	no	—
21	#2960	—	2	2	no	—
22	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
23	#2905	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2873	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1998	—	2	4	no	—
31	#1995	—	2	2	no	—
32	#1994	—	2	2	no	—
33	#1989	—	2	4	no	—
34	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
38	#1736	C₂²	1	4	yes	—
39	#1733	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂×#338	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	#533	—	2	2	no	—
47	#533	—	2	2	no	—
48	#533	D₄	1	2	yes	—
49	#533	D₄	1	2	yes	—
50	#533	D₄	1	2	yes	—
51	#533	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×#125	—	2	2	no	—
54	C₂×#125	—	2	1	no	—
55	C₂×#125	—	2	1	no	—
56	C₂×#125	—	2	1	no	—
57	C₂×#125	—	2	1	no	—
58	C₂×#125	—	2	2	no	—
59	C₂×#125	—	2	2	no	—
60	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#501	—	2	8	no	—
71	#501	—	2	8	no	—
72	#499	—	2	8	no	—
73	#499	—	2	8	no	—
74	#446	—	2	8	no	—
75	#446	—	2	16	no	—
76	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
77	#428	—	2	8	no	—
78	#428	—	2	8	no	—
79	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	C₂×#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
81	#424	—	2	4	no	—
82	#424	—	2	4	no	—
83	#423	—	2	4	no	—
84	#423	—	2	1	no	—
85	#423	—	2	1	no	—
86	#423	—	2	2	no	—
87	#423	—	2	1	no	—
88	#423	—	2	1	no	—
89	#423	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
92	#405	—	2	4	no	—
93	#405	—	2	4	no	—
94	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
95	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
96	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
97	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
98	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
99	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
101	C₂×#97	—	2	1	no	—
102	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
107	#376	—	2	1	no	—
108	C₄³	—	2	1	no	—
109	#344	—	2	4	no	—
110	#344	Q₈	1	8	yes	complemented
111	#343	—	2	4	no	—
112	#343	—	2	4	no	—
113	#340	—	2	8	no	—
114	#339	—	2	8	no	—
115	#338	—	2	8	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
140	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
141	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
151	#125	—	2	2	no	—
152	#125	—	2	2	no	—
153	#125	—	2	2	no	—
154	#125	—	2	2	no	—
155	#125	—	2	4	no	—
156	#125	—	2	4	no	—
157	#125	—	2	4	no	—
158	#125	—	4	2	no	—
159	#125	—	4	2	no	—
160	#125	—	4	2	no	—
161	#125	—	4	2	no	—
162	#125	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
163	#125	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
210	#107	—	2	16	no	—
211	#106	—	2	16	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
216	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
217	#97	—	2	8	no	—
218	#97	—	2	2	no	—
219	#97	—	2	2	no	—
220	#97	—	2	4	no	—
221	C₄×C₈	—	2	8	no	—
222	C₄×C₈	—	2	2	no	—
223	C₄×C₈	—	2	2	no	—
224	C₄×C₈	—	2	4	no	—
225	#95	—	4	2	no	—
226	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
237	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
253	M₁₆	—	2	2	no	—
254	M₁₆	—	2	4	no	—
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	2	4	no	—
257	M₁₆	—	2	4	no	—
258	M₁₆	—	2	4	no	—
259	M₁₆	—	2	2	no	—
260	M₁₆	—	2	2	no	—
261	M₁₆	—	4	2	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	M₁₆	—	4	2	no	—
264	M₁₆	—	4	4	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	2	no	—
267	M₁₆	—	4	4	no	—
268	M₁₆	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	8	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	—	2	4	no	—
302	C₄²	—	2	4	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	—	8	4	no	—
305	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
310	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
311	C₄²	#120	1	2	yes	—
312	C₄²	#120	1	2	yes	—
313	C₄²	#121	1	2	yes	—
314	C₄²	#121	1	2	yes	—
315	C₂³	—	4	2	no	—
316	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#533	1	2	yes	—
320	C₂³	#541	1	2	yes	—
321	Q₈	—	4	8	no	—
322	Q₈	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	—	8	4	no	—
337	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
359	C₈	—	2	8	no	—
360	C₈	—	2	4	no	—
361	C₈	—	4	4	no	—
362	C₈	—	4	2	no	—
363	C₈	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2327	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2429	1	2	yes	—
373	C₂²	#2446	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	4	8	no	—
379	C₄	—	8	4	no	—
380	C₄	—	8	4	no	—
381	C₄	Q₈×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
382	C₄	#2365	1	2	yes	—
383	C₄	#2432	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2546	1	1	yes	characteristic
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	2	1	no	—
389	C₂	—	2	1	no	—
390	C₂	—	2	2	no	—
391	C₂	#14024	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20995	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#386
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
16. C₂×#501	C₄	semidirect
17. C₂×#499	C₄	semidirect
110. #344	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3166	2
#60192	2
C₂×#1998	2
#21329	2
#21314	2
#11214	2
#10904	2
C₄⋊#338	2
C₄×#344	2