Subgroups — #368961

Order 512.

1250 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11221	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10909	C₂	1	4	yes	maximal
8	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3160	—	2	4	no	—
13	#3160	—	2	4	no	—
14	C₂×#500	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×#499	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₂×#498	C₄	1	2	yes	complemented
17	#2960	—	2	4	no	—
18	#2960	—	2	4	no	—
19	C₂×#446	—	2	2	no	—
20	C₂×C₈×Q₈	—	2	2	no	—
21	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1994	—	2	4	no	—
30	#1994	—	2	4	no	—
31	#1984	—	2	2	no	—
32	#1984	—	2	2	no	—
33	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
36	#1729	C₂²	1	2	yes	—
37	#1729	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	2	no	—
47	#533	—	2	2	no	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	D₄	1	4	yes	—
52	#533	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#500	—	2	8	no	—
67	#499	—	2	16	no	—
68	#498	—	2	8	no	—
69	#446	—	2	16	no	—
70	C₈×Q₈	—	2	16	no	—
71	#427	—	2	8	no	—
72	#427	—	2	8	no	—
73	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₂×#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	#424	—	2	4	no	—
76	#424	—	2	4	no	—
77	#423	—	2	2	no	—
78	#423	—	2	2	no	—
79	#423	—	2	2	no	—
80	#423	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
84	#405	—	2	4	no	—
85	#405	—	2	4	no	—
86	C₂×#97	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
97	C₄³	—	2	2	no	—
98	C₄³	—	2	2	no	—
99	#341	—	2	8	no	—
100	#339	—	2	8	no	—
101	#339	—	2	8	no	—
102	#336	—	2	4	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	#336	Q₈	1	8	yes	complemented
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
144	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
145	#125	—	2	4	no	—
146	#125	—	2	4	no	—
147	#125	—	2	4	no	—
148	#125	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
149	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
155	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
191	#107	—	2	16	no	—
192	#106	—	2	16	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
196	#97	—	2	8	no	—
197	C₄×C₈	—	2	8	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	—	2	4	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	4	no	—
202	C₄×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
204	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
233	M₁₆	—	2	8	no	—
234	M₁₆	—	4	4	no	—
235	M₁₆	—	4	4	no	—
236	M₁₆	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
264	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	4	16	no	—
283	C₄²	—	4	2	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	—	4	2	no	—
287	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
289	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
291	C₄²	#120	1	4	yes	—
292	C₄²	#121	1	4	yes	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	#533	1	2	yes	—
299	C₂³	#541	1	2	yes	—
300	Q₈	—	4	16	no	—
301	Q₈	—	8	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
339	C₈	—	2	4	no	—
340	C₈	—	2	4	no	—
341	C₈	—	2	2	no	—
342	C₈	—	2	2	no	—
343	C₈	—	4	2	no	—
344	C₈	—	4	4	no	—
345	C₈	—	8	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2327	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2429	1	2	yes	—
355	C₂²	#2446	1	2	yes	—
356	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
357	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	4	8	no	—
360	C₄	—	4	8	no	—
361	C₄	—	8	4	no	—
362	C₄	#1876	1	8	yes	—
363	C₄	Q₈×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
364	C₄	#2365	1	2	yes	—
365	C₄	#2432	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#2546	1	1	yes	characteristic
369	C₂	—	2	2	no	—
370	C₂	—	2	2	no	—
371	C₂	#14024	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#1876	1	2	yes	—
373	C₂	#21732	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#21734	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#22256	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
14. C₂×#500	C₄	semidirect
15. C₂×#499	C₄	semidirect
16. C₂×#498	C₄	semidirect
106. #336	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3160	2
C₂×#2960	2
C₂×#1994	2
#21300	2
#11221	2
#10909	2
#10844	2
C₄×#336	2