Subgroups — #368970

Order 512.

1290 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 417 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60192	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#36645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21332	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21306	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11212	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10893	C₂	1	4	yes	maximal
8	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	Q₈×M₁₆	—	2	4	no	—
13	#2962	—	2	4	no	—
14	#2961	—	2	2	no	—
15	#2960	—	2	2	no	—
16	#2905	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2873	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2868	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2862	C₄	1	2	yes	complemented
22	#2859	C₄	1	4	yes	complemented
23	#2857	—	2	4	no	—
24	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
25	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2285	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1996	—	2	4	no	—
30	#1995	—	2	2	no	—
31	#1994	—	2	2	no	—
32	#1986	—	2	4	no	—
33	#1740	C₂²	1	4	yes	—
34	#1733	C₂²	1	2	yes	—
35	#1733	C₂²	1	2	yes	—
36	#1733	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	#533	—	2	1	no	—
44	#533	—	2	1	no	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	2	no	—
47	#533	—	2	1	no	—
48	#533	—	2	1	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	—	2	1	no	—
51	#533	—	2	1	no	—
52	#533	—	2	2	no	—
53	#533	—	2	1	no	—
54	#533	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#446	—	2	8	no	—
72	#446	—	2	16	no	—
73	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
74	#424	—	2	4	no	—
75	#424	—	2	4	no	—
76	#423	—	2	2	no	—
77	#423	—	2	4	no	—
78	#423	D₄	1	2	yes	—
79	#423	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	#405	—	2	4	no	—
82	#405	—	2	4	no	—
83	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
84	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
85	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×#97	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
88	#391	—	2	4	no	—
89	#391	—	2	4	no	—
90	#389	—	2	16	no	—
91	#384	—	2	4	no	—
92	#384	—	2	1	no	—
93	#384	C₂×C₄	1	8	yes	—
94	#382	—	2	1	no	—
95	#382	C₂×C₄	1	8	yes	—
96	#380	—	2	8	no	—
97	#380	—	2	2	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
102	#376	—	2	1	no	—
103	C₄³	—	2	2	no	—
104	C₄³	—	2	1	no	—
105	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
108	#342	—	2	8	no	—
109	#339	—	2	4	no	—
110	#339	—	2	4	no	—
111	#339	—	2	8	no	—
112	#339	—	2	4	no	—
113	#339	—	2	8	no	—
114	#339	Q₈	1	8	yes	complemented
115	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
144	#125	—	2	2	no	—
145	#125	—	2	2	no	—
146	#125	—	2	4	no	—
147	#125	—	2	4	no	—
148	#125	—	2	2	no	—
149	#125	—	2	2	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
163	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
164	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
165	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	4	no	—
179	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
204	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
205	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
215	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
216	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
217	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
219	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
220	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
222	#97	—	2	8	no	—
223	#97	—	2	4	no	—
224	C₄×C₈	—	2	8	no	—
225	C₄×C₈	—	2	4	no	—
226	#95	—	2	16	no	—
227	#95	—	4	2	no	—
228	#95	—	4	2	no	—
229	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
262	M₁₆	—	2	2	no	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	2	2	no	—
265	M₁₆	—	2	2	no	—
266	M₁₆	—	2	8	no	—
267	M₁₆	—	4	4	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	C₄⋊Q₈	1	4	yes	complemented
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄²	—	2	8	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	2	4	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	4	8	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	4	2	no	—
314	C₄²	—	4	2	no	—
315	C₄²	—	4	2	no	—
316	C₄²	—	8	4	no	—
317	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
318	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
321	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
324	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
325	C₄²	#120	1	2	yes	—
326	C₄²	#120	1	2	yes	—
327	C₄²	#123	1	2	yes	—
328	C₄²	#123	1	2	yes	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	#548	1	2	yes	—
334	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
335	Q₈	—	4	8	no	—
336	Q₈	—	8	4	no	—
337	Q₈	—	8	4	no	—
338	Q₈	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	8	no	—
353	C₂×C₄	—	4	8	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
381	C₈	—	2	4	no	—
382	C₈	—	4	4	no	—
383	C₈	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	2	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
391	C₂²	#2429	1	2	yes	—
392	C₂²	#2545	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#2546	1	1	yes	characteristic
394	C₄	—	2	8	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	2	2	no	—
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	4	4	no	—
399	C₄	—	4	8	no	—
400	C₄	—	8	4	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	—	16	2	no	—
403	C₄	#1884	1	4	yes	—
404	C₄	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#2327	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#2365	1	2	yes	—
407	C₄	#2432	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#2446	1	2	yes	—
410	C₂	—	2	2	no	—
411	C₂	—	2	2	no	—
412	C₂	—	2	1	no	—
413	C₂	—	2	1	no	—
414	C₂	#14024	1	1	yes	characteristic
415	C₂	C₂×#1884	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#386
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
20. #2868	C₄	semidirect
21. #2862	C₄	semidirect
22. #2859	C₄	semidirect
114. #339	Q₈	semidirect
269. M₁₆	C₄⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60192	2
#36645	2
#21332	2
#21329	2
#21306	2
#11212	2
#10893	2
#10839	2
C₄×#339	2