Subgroups — #368972

Order 512.

1294 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 436 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21332	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11215	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10895	C₂	1	4	yes	maximal
8	#10855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3166	—	2	2	no	—
13	#3166	C₄	1	4	yes	complemented
14	#3165	—	2	2	no	—
15	#3165	C₄	1	4	yes	complemented
16	#3162	—	2	2	no	—
17	#3160	—	2	2	no	—
18	#2911	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
22	C₄×#125	—	2	2	no	—
23	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
24	#2296	C₂²	1	2	yes	—
25	#2295	—	2	2	no	—
26	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄²×Q₈	—	2	2	no	—
28	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1996	—	2	4	no	—
32	#1995	—	2	2	no	—
33	#1994	—	2	2	no	—
34	#1994	—	2	2	no	—
35	#1994	—	2	2	no	—
36	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
37	#1740	C₂²	1	4	yes	—
38	#1733	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	#533	—	2	1	no	—
46	#533	—	2	1	no	—
47	#533	—	2	1	no	—
48	#533	—	2	1	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	—	2	2	no	—
52	#533	—	2	2	no	—
53	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	#533	D₄	1	2	yes	—
56	#533	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#501	—	2	8	no	—
75	#501	—	2	8	no	—
76	#500	—	2	4	no	—
77	#499	—	2	8	no	—
78	#498	—	2	4	no	—
79	#428	—	2	8	no	—
80	#428	C₂×C₄	1	16	yes	—
81	#427	—	2	8	no	—
82	#423	—	2	1	no	—
83	#423	—	2	2	no	—
84	#423	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
87	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
88	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×#97	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
92	#391	—	2	4	no	—
93	#389	—	2	4	no	—
94	#389	—	2	4	no	—
95	#387	—	2	8	no	—
96	#385	—	2	4	no	—
97	#384	—	2	1	no	—
98	#382	—	2	1	no	—
99	#380	D₄	1	4	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
108	#376	—	2	2	no	—
109	#376	—	2	1	no	—
110	C₄³	—	2	1	no	—
111	C₄³	—	2	1	no	—
112	C₄³	—	2	2	no	—
113	C₄³	—	2	1	no	—
114	C₄³	D₄	1	2	yes	—
115	C₄³	D₄	1	2	yes	—
116	#344	—	2	8	no	—
117	#342	—	2	8	no	—
118	#339	—	2	4	no	—
119	#339	—	2	8	no	—
120	#339	—	2	4	no	—
121	#339	—	2	2	no	—
122	#339	—	2	2	no	—
123	#339	Q₈	1	8	yes	complemented
124	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
139	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	#125	—	2	2	no	—
151	#125	—	2	2	no	—
152	#125	—	2	4	no	—
153	#125	—	2	4	no	—
154	#125	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
155	#125	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
169	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
170	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
171	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
172	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	2	no	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
185	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
216	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
228	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
230	#107	—	2	16	no	—
231	#106	—	2	16	no	—
232	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
234	#97	—	2	2	no	—
235	#97	—	2	2	no	—
236	C₄×C₈	—	2	2	no	—
237	C₄×C₈	—	2	2	no	—
238	#95	—	2	8	no	—
239	#95	—	2	8	no	—
240	#95	—	2	4	no	—
241	#95	—	4	2	no	—
242	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	4	no	—
279	M₁₆	—	2	4	no	—
280	M₁₆	—	4	2	no	—
281	M₁₆	—	4	2	no	—
282	M₁₆	—	4	4	no	—
283	M₁₆	C₄×Q₈	1	8	yes	complemented
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	2	8	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	2	1	no	—
317	C₄²	—	2	1	no	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	4	no	—
322	C₄²	—	4	4	no	—
323	C₄²	—	4	4	no	—
324	C₄²	—	4	4	no	—
325	C₄²	—	4	16	no	—
326	C₄²	—	4	2	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	—	4	2	no	—
329	C₄²	—	4	2	no	—
330	C₄²	—	4	2	no	—
331	C₄²	—	4	2	no	—
332	C₄²	—	8	4	no	—
333	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
338	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
339	C₄²	#121	1	2	yes	—
340	C₄²	#121	1	2	yes	—
341	C₄²	#123	1	2	yes	—
342	C₄²	#123	1	2	yes	—
343	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
344	C₄²	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
345	C₂³	—	4	2	no	—
346	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
348	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
349	C₂³	#547	1	2	yes	—
350	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
351	Q₈	—	4	8	no	—
352	Q₈	—	4	8	no	—
353	Q₈	—	8	4	no	—
354	Q₈	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	8	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	8	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	8	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	8	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
400	C₈	—	2	8	no	—
401	C₈	—	8	2	no	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	2	2	no	—
404	C₂²	—	2	2	no	—
405	C₂²	—	4	2	no	—
406	C₂²	—	4	2	no	—
407	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	#2365	1	2	yes	—
409	C₂²	#2429	1	2	yes	—
410	C₂²	#2432	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
412	C₄	—	2	4	no	—
413	C₄	—	2	2	no	—
414	C₄	—	2	2	no	—
415	C₄	—	2	2	no	—
416	C₄	—	4	2	no	—
417	C₄	—	4	4	no	—
418	C₄	—	4	8	no	—
419	C₄	—	8	4	no	—
420	C₄	—	8	4	no	—
421	C₄	—	8	4	no	—
422	C₄	#1906	1	4	yes	—
423	C₄	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
424	C₄	#2327	1	1	yes	characteristic
425	C₄	Q₈×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
426	C₄	#2446	1	2	yes	—
427	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#2546	1	1	yes	characteristic
429	C₂	—	2	1	no	—
430	C₂	—	2	1	no	—
431	C₂	—	2	2	no	—
432	C₂	—	2	2	no	—
433	C₂	#14024	1	1	yes	characteristic
434	C₂	C₂×#1906	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#386
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. #3166	C₄	semidirect
15. #3165	C₄	semidirect
123. #339	Q₈	semidirect
283. M₁₆	C₄×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60663	2
C₄×#533	2
#21332	2
#21329	2
C₂×#1994	2
#11215	2
#10895	2
#10855	2
C₄×#339	2