Subgroups — #369260

Order 512.

1308 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 456 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60618	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60192	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21318	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21252	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11065	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10956	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3142	—	2	2	no	—
13	#3141	—	2	2	no	—
14	#3140	C₄	1	4	yes	complemented
15	#3139	C₄	1	2	yes	complemented
16	#3138	C₄	1	2	yes	complemented
17	#3135	—	2	2	no	—
18	#3131	—	2	2	no	—
19	Q₈×M₁₆	—	2	4	no	—
20	#2962	—	2	4	no	—
21	#2961	—	2	2	no	—
22	#2960	—	2	2	no	—
23	#2905	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
27	#2896	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
29	#2873	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1991	—	2	2	no	—
35	#1990	—	2	2	no	—
36	#1980	—	2	4	no	—
37	#1954	—	2	4	no	—
38	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
41	#1735	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#533	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	#533	D₄	1	2	yes	—
53	#533	D₄	1	2	yes	—
54	#532	—	2	1	no	—
55	#532	—	2	1	no	—
56	#532	—	2	1	no	—
57	#532	—	2	1	no	—
58	#532	—	2	2	no	—
59	#532	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×#121	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#491	—	2	4	no	—
73	#490	—	2	4	no	—
74	#489	—	2	8	no	—
75	#488	—	2	8	no	—
76	#487	—	2	4	no	—
77	#486	—	2	4	no	—
78	#446	—	2	8	no	—
79	#446	—	2	16	no	—
80	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
81	#424	—	2	4	no	—
82	#424	—	2	4	no	—
83	#423	—	2	4	no	—
84	#423	—	2	1	no	—
85	#423	—	2	1	no	—
86	#423	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
88	#421	—	2	8	no	—
89	#421	—	4	4	no	—
90	C₂×#104	—	2	4	no	—
91	C₂×#104	—	2	4	no	—
92	#419	C₂×C₄	1	8	yes	—
93	#418	C₂×C₄	1	8	yes	—
94	#417	—	2	8	no	—
95	#416	—	2	8	no	—
96	#408	—	2	8	no	—
97	#408	—	4	4	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
99	#405	—	2	4	no	—
100	#405	—	2	4	no	—
101	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
103	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
104	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
108	C₂×#97	—	2	1	no	—
109	C₂×#97	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
116	#384	—	2	1	no	—
117	#382	—	2	1	no	—
118	#380	—	2	2	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	#344	—	4	4	no	—
121	#341	—	2	4	no	—
122	#341	—	2	4	no	—
123	#340	—	2	8	no	—
124	C₂×#41	—	2	2	no	—
125	C₂×#41	—	2	2	no	—
126	C₂×#41	—	2	2	no	—
127	C₂×#41	—	2	2	no	—
128	C₂×#41	—	2	4	no	—
129	C₂×#41	—	2	4	no	—
130	C₂×#41	—	2	4	no	—
131	C₂×#41	—	2	4	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
158	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
174	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
175	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
176	#127	—	2	1	no	—
177	#127	—	2	1	no	—
178	#127	—	2	2	no	—
179	#125	—	2	4	no	—
180	#125	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
181	#125	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
182	#124	—	2	2	no	—
183	#124	—	2	2	no	—
184	#124	—	2	4	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
189	#121	—	4	2	no	—
190	#121	—	4	2	no	—
191	#121	—	4	2	no	—
192	#121	—	4	2	no	—
193	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
194	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
195	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
197	C₄×D₄	—	4	2	no	—
198	C₄×D₄	—	4	2	no	—
199	C₄×D₄	—	4	2	no	—
200	C₄×D₄	—	4	2	no	—
201	#117	—	2	2	no	—
202	#117	—	2	2	no	—
203	#117	—	2	4	no	—
204	#117	—	2	4	no	—
205	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
206	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
227	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
228	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
230	#104	—	4	8	no	—
231	#104	—	4	8	no	—
232	#103	—	2	16	no	—
233	#102	—	2	16	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
235	#97	—	2	8	no	—
236	#97	—	2	2	no	—
237	#97	—	2	2	no	—
238	#97	—	2	4	no	—
239	C₄×C₈	—	2	8	no	—
240	C₄×C₈	—	2	2	no	—
241	C₄×C₈	—	2	2	no	—
242	C₄×C₈	—	2	4	no	—
243	C₄×C₈	—	4	2	no	—
244	C₄×C₈	—	4	2	no	—
245	#95	—	4	2	no	—
246	C₂⁴	—	2	2	no	—
247	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	#41	—	4	2	no	—
249	#41	—	4	4	no	—
250	#41	—	4	2	no	—
251	#41	—	4	2	no	—
252	#41	—	4	2	no	—
253	#41	—	4	4	no	—
254	#41	—	4	4	no	—
255	#41	—	4	4	no	—
256	#41	—	4	4	no	—
257	#41	—	4	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
265	C₂×D₄	—	2	2	no	—
266	C₂×D₄	—	2	2	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	4	8	no	—
270	C₂×D₄	—	4	2	no	—
271	C₂×D₄	—	4	2	no	—
272	C₂×D₄	—	4	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	4	no	—
274	C₂×D₄	—	4	2	no	—
275	C₂×D₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
299	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
300	M₁₆	—	2	2	no	—
301	M₁₆	—	2	4	no	—
302	M₁₆	—	2	4	no	—
303	M₁₆	—	2	4	no	—
304	M₁₆	—	2	2	no	—
305	M₁₆	—	2	2	no	—
306	M₁₆	—	4	2	no	—
307	M₁₆	—	4	2	no	—
308	M₁₆	—	4	2	no	—
309	M₁₆	—	4	2	no	—
310	M₁₆	—	4	2	no	—
311	M₁₆	—	4	4	no	—
312	M₁₆	#124	1	4	yes	—
313	C₂×C₈	—	2	2	no	—
314	C₂×C₈	—	2	4	no	—
315	C₂×C₈	—	2	4	no	—
316	C₂×C₈	—	2	2	no	—
317	C₂×C₈	—	2	4	no	—
318	C₂×C₈	—	2	4	no	—
319	C₂×C₈	—	2	4	no	—
320	C₂×C₈	—	2	8	no	—
321	C₂×C₈	—	2	4	no	—
322	C₂×C₈	—	4	2	no	—
323	C₂×C₈	—	4	2	no	—
324	C₂×C₈	—	4	2	no	—
325	C₂×C₈	—	4	2	no	—
326	C₂×C₈	—	4	2	no	—
327	C₂×C₈	—	4	2	no	—
328	C₂×C₈	—	4	2	no	—
329	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
331	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
332	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
334	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
335	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
336	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
337	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
338	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
339	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
344	C₄²	—	2	4	no	—
345	C₄²	—	2	4	no	—
346	C₄²	—	4	2	no	—
347	C₄²	—	4	2	no	—
348	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
349	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
350	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
351	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
352	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
353	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
354	C₄²	#120	1	2	yes	—
355	C₄²	#120	1	2	yes	—
356	C₄²	#121	1	2	yes	—
357	C₄²	#121	1	2	yes	—
358	C₂³	—	4	2	no	—
359	C₂³	—	4	8	no	—
360	C₂³	—	4	4	no	—
361	C₂³	—	4	2	no	—
362	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
364	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
365	C₂³	#556	1	2	yes	—
366	C₂³	#559	1	2	yes	—
367	Q₈	—	4	8	no	—
368	Q₈	—	4	2	no	—
369	Q₈	—	4	4	no	—
370	Q₈	—	4	2	no	—
371	Q₈	—	8	4	no	—
372	D₄	—	4	2	no	—
373	D₄	—	4	4	no	—
374	D₄	—	4	2	no	—
375	D₄	—	8	4	no	—
376	D₄	—	8	4	no	—
377	D₄	—	8	2	no	—
378	D₄	—	8	2	no	—
379	D₄	—	8	4	no	—
380	C₂×C₄	—	2	4	no	—
381	C₂×C₄	—	2	4	no	—
382	C₂×C₄	—	2	4	no	—
383	C₂×C₄	—	2	8	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	2	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	4	2	no	—
389	C₂×C₄	—	8	4	no	—
390	C₂×C₄	—	8	4	no	—
391	C₂×C₄	—	8	2	no	—
392	C₂×C₄	—	8	2	no	—
393	C₂×C₄	—	8	4	no	—
394	C₂×C₄	—	8	2	no	—
395	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
408	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
409	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
410	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
411	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
412	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
413	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
414	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
415	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
416	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
417	C₈	—	2	4	no	—
418	C₈	—	4	4	no	—
419	C₈	—	4	4	no	—
420	C₈	—	4	4	no	—
421	C₈	—	4	2	no	—
422	C₂²	—	2	2	no	—
423	C₂²	—	2	2	no	—
424	C₂²	—	2	2	no	—
425	C₂²	—	4	2	no	—
426	C₂²	—	4	2	no	—
427	C₂²	—	8	8	no	—
428	C₂²	—	8	2	no	—
429	C₂²	—	8	4	no	—
430	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
431	C₂²	#2367	1	2	yes	—
432	C₂²	#2448	1	2	yes	—
433	C₂²	#2545	1	1	yes	characteristic
434	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
435	C₄	—	2	2	no	—
436	C₄	—	2	2	no	—
437	C₄	—	2	2	no	—
438	C₄	—	4	8	no	—
439	C₄	—	8	2	no	—
440	C₄	—	16	2	no	—
441	C₄	#1881	1	4	yes	—
442	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
443	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
444	C₄	#2341	1	2	yes	—
445	C₄	#2426	1	2	yes	—
446	C₄	#2431	1	1	yes	characteristic
447	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
448	C₂	—	2	1	no	—
449	C₂	—	2	2	no	—
450	C₂	—	2	2	no	—
451	C₂	—	2	1	no	—
452	C₂	—	16	2	no	—
453	C₂	#14026	1	1	yes	characteristic
454	C₂	C₂×#1881	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#386
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #60192	C₂	semidirect
3. #21318	C₂	semidirect
6. #11065	C₂	semidirect
7. #10956	C₂	semidirect
8. #10855	C₂	semidirect
9. C₄×#341	C₂	semidirect
14. #3140	C₄	semidirect
15. #3139	C₄	semidirect
16. #3138	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60618	2
#60192	2
#21318	2
#21252	2
#21187	2
#11065	2
#10956	2
#10855	2
C₄×#341	2