Subgroups — #369277

Order 512.

1372 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2961	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11068	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10934	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10693	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3135	—	2	4	no	—
13	#3135	—	2	4	no	—
14	C₂×#491	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×#490	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×#489	C₄	1	4	yes	complemented
17	#2961	—	2	4	no	—
18	#2961	—	2	4	no	—
19	C₂×#446	—	2	4	no	—
20	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1994	—	2	4	no	—
32	#1962	—	2	4	no	—
33	#1955	—	2	4	no	—
34	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#533	—	2	2	no	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	D₄	1	4	yes	—
47	#533	D₄	1	4	yes	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×#121	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#491	—	2	8	no	—
66	#490	—	2	8	no	—
67	#489	—	2	16	no	—
68	#446	—	2	32	no	—
69	#424	—	2	4	no	—
70	#424	—	2	4	no	—
71	#423	—	2	2	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	—	2	2	no	—
74	#423	D₄	1	4	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×#104	—	2	8	no	—
79	C₂×#104	—	2	8	no	—
80	C₂×#104	—	4	4	no	—
81	#416	—	2	8	no	—
82	#416	—	2	8	no	—
83	C₂×#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
85	#408	—	2	8	no	—
86	#408	—	4	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
89	#405	—	2	4	no	—
90	#405	—	2	4	no	—
91	C₂×#97	—	2	2	no	—
92	C₂×#97	—	2	2	no	—
93	C₂×#97	—	2	2	no	—
94	C₂×#97	—	2	2	no	—
95	C₂×#97	—	2	2	no	—
96	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
100	C₄³	—	2	2	no	—
101	C₄³	—	2	2	no	—
102	#341	—	4	4	no	—
103	#339	—	2	8	no	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
154	#127	—	2	2	no	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#125	—	2	4	no	—
157	#125	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
158	#124	—	2	4	no	—
159	#124	—	2	4	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
162	#121	—	4	4	no	—
163	#121	—	4	4	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
166	C₄×D₄	—	4	4	no	—
167	C₄×D₄	—	4	4	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
196	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
197	#104	—	4	16	no	—
198	#103	—	2	16	no	—
199	#102	—	2	16	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
202	#97	—	2	8	no	—
203	#97	—	2	4	no	—
204	#97	—	2	4	no	—
205	#97	—	2	8	no	—
206	C₄×C₈	—	2	8	no	—
207	C₂⁴	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	#41	—	4	4	no	—
210	#41	—	4	4	no	—
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	4	no	—
213	#41	—	4	4	no	—
214	#41	—	4	4	no	—
215	#41	—	4	4	no	—
216	#41	—	4	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	8	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
261	M₁₆	—	2	8	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	M₁₆	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	2	4	no	—
299	C₄²	—	2	4	no	—
300	C₄²	—	4	16	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
305	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
306	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
307	C₄²	#120	1	4	yes	—
308	C₄²	#121	1	4	yes	—
309	C₂³	—	2	4	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	#529	1	2	yes	—
318	C₂³	#542	1	2	yes	—
319	Q₈	—	4	4	no	—
320	Q₈	—	4	4	no	—
321	Q₈	—	8	8	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	8	8	no	—
325	D₄	—	8	4	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
365	C₈	—	2	4	no	—
366	C₈	—	4	4	no	—
367	C₈	—	4	2	no	—
368	C₈	—	4	4	no	—
369	C₈	—	8	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2326	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2426	1	2	yes	—
383	C₂²	#2448	1	2	yes	—
384	C₂²	#2956	1	4	yes	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	4	8	no	—
388	C₄	—	4	8	no	—
389	C₄	—	8	2	no	—
390	C₄	#2341	1	2	yes	—
391	C₄	#2367	1	2	yes	—
392	C₄	#2431	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	16	2	no	—
399	C₂	#14026	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#20918	1	2	yes	—
401	C₂	#21662	1	2	yes	—
402	C₂	#22237	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2961	C₂	semidirect
3. C₂×#1994	C₂	semidirect
6. #11068	C₂	semidirect
7. #10934	C₂	semidirect
8. #10845	C₂	semidirect
9. #10693	C₂	semidirect
14. C₂×#491	C₄	semidirect
15. C₂×#490	C₄	semidirect
16. C₂×#489	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3135	2
C₂×#2961	2
C₂×#1994	2
C₂×#1962	2
#21188	2
#11068	2
#10934	2
#10845	2
#10693	2