Subgroups — #369288

Order 512.

1496 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 425 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11061	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10943	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3138	—	2	4	no	—
13	#3138	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#490	—	2	2	no	—
15	C₂×#486	—	2	2	no	—
16	#2960	—	2	4	no	—
17	#2960	—	2	4	no	—
18	C₂×#446	—	2	2	no	—
19	C₂×C₈×Q₈	—	2	2	no	—
20	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1992	—	2	2	no	—
32	#1990	—	2	2	no	—
33	#1965	—	2	4	no	—
34	#1957	—	2	2	no	—
35	#1957	—	2	2	no	—
36	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
39	#1736	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#533	—	2	2	no	—
48	#533	—	2	2	no	—
49	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#533	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×#127	—	2	1	no	—
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	—	2	2	no	—
57	C₂×#127	—	2	2	no	—
58	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#490	—	2	16	no	—
67	#486	—	2	16	no	—
68	#446	—	2	16	no	—
69	C₈×Q₈	—	2	16	no	—
70	#424	—	2	4	no	—
71	#424	—	2	4	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	#418	—	2	8	no	—
77	#418	C₂×C₄	1	16	yes	—
78	C₂×#102	—	2	8	no	—
79	C₂×#102	—	2	4	no	—
80	C₂×#102	—	2	2	no	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	8	no	—
83	C₂×#102	—	4	4	no	—
84	C₂×#100	—	2	8	no	—
85	C₂×#100	—	2	8	no	—
86	C₂×#100	—	4	4	no	—
87	#405	—	2	4	no	—
88	#405	—	2	4	no	—
89	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
91	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×#97	—	2	2	no	—
94	C₂×#97	—	2	1	no	—
95	C₂×#97	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
103	#384	—	2	2	no	—
104	#384	—	2	1	no	—
105	#384	—	2	1	no	—
106	#343	—	4	4	no	—
107	#341	—	2	4	no	—
108	#341	—	2	4	no	—
109	#340	—	2	8	no	—
110	C₂⁵	—	2	2	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
127	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
163	#127	—	2	4	no	—
164	#127	—	2	4	no	—
165	#127	—	2	8	no	—
166	#127	—	4	4	no	—
167	#127	—	4	2	no	—
168	#127	—	4	2	no	—
169	#125	—	2	4	no	—
170	#125	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
171	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
198	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
200	#102	—	2	32	no	—
201	#102	—	4	8	no	—
202	#102	—	4	4	no	—
203	#102	—	4	4	no	—
204	#100	—	4	16	no	—
205	#97	—	2	8	no	—
206	#97	—	2	4	no	—
207	#97	—	4	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	8	no	—
209	C₄×C₈	—	2	4	no	—
210	C₄×C₈	—	2	4	no	—
211	C₄×C₈	—	2	4	no	—
212	C₄×C₈	—	4	2	no	—
213	C₂⁴	—	2	4	no	—
214	C₂⁴	—	4	2	no	—
215	C₂⁴	—	4	2	no	—
216	C₂⁴	—	4	4	no	—
217	C₂⁴	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	—	8	4	no	—
219	C₂⁴	—	8	4	no	—
220	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	8	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	—	4	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	4	no	—
240	C₂×D₄	—	4	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×D₄	—	4	8	no	—
244	C₂×D₄	—	8	4	no	—
245	C₂×D₄	—	8	4	no	—
246	C₂×D₄	—	8	16	no	—
247	C₂×D₄	—	8	16	no	—
248	C₂×D₄	—	8	4	no	—
249	C₂×D₄	—	8	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
256	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	M₁₆	—	2	4	no	—
272	M₁₆	—	2	4	no	—
273	M₁₆	—	2	4	no	—
274	M₁₆	—	2	8	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	M₁₆	—	4	2	no	—
279	M₁₆	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	1	no	—
281	C₂×C₈	—	2	1	no	—
282	C₂×C₈	—	2	1	no	—
283	C₂×C₈	—	2	1	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
301	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
310	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄²	—	2	4	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
316	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
317	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
318	C₄²	#120	1	4	yes	—
319	C₄²	#121	1	2	yes	—
320	C₄²	#121	1	2	yes	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	4	4	no	—
324	C₂³	—	4	8	no	—
325	C₂³	—	8	8	no	—
326	C₂³	—	8	8	no	—
327	C₂³	—	8	4	no	—
328	C₂³	—	8	2	no	—
329	C₂³	—	8	2	no	—
330	C₂³	—	8	4	no	—
331	C₂³	—	8	4	no	—
332	C₂³	—	16	4	no	—
333	C₂³	—	16	4	no	—
334	C₂³	—	16	8	no	—
335	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
337	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
338	C₂³	#556	1	2	yes	—
339	C₂³	#559	1	2	yes	—
340	Q₈	—	4	16	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	8	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	8	16	no	—
345	D₄	—	8	16	no	—
346	D₄	—	8	4	no	—
347	D₄	—	8	2	no	—
348	D₄	—	8	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	8	no	—
352	C₂×C₄	—	2	8	no	—
353	C₂×C₄	—	2	8	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	16	4	no	—
359	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	#472	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
381	C₈	—	2	2	no	—
382	C₈	—	2	2	no	—
383	C₈	—	4	4	no	—
384	C₈	—	4	4	no	—
385	C₈	—	4	2	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	2	2	no	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	2	4	no	—
392	C₂²	—	8	8	no	—
393	C₂²	—	8	4	no	—
394	C₂²	—	16	8	no	—
395	C₂²	—	16	8	no	—
396	C₂²	—	16	2	no	—
397	C₂²	—	16	2	no	—
398	C₂²	—	16	4	no	—
399	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#2367	1	2	yes	—
401	C₂²	#2448	1	2	yes	—
402	C₂²	#2545	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
405	C₂²	C₂×#472	1	2	yes	—
406	C₄	—	2	4	no	—
407	C₄	—	4	8	no	—
408	C₄	—	16	2	no	—
409	C₄	#1907	1	8	yes	—
410	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
411	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
412	C₄	#2341	1	2	yes	—
413	C₄	#2426	1	2	yes	—
414	C₄	#2431	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
416	C₂	—	2	2	no	—
417	C₂	—	2	2	no	—
418	C₂	—	16	4	no	—
419	C₂	#14026	1	1	yes	characteristic
420	C₂	C₂×#1907	1	2	yes	—
421	C₂	#28670	1	2	yes	—
422	C₂	#28763	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#28764	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2960	C₂	semidirect
3. #21322	C₂	semidirect
6. #11061	C₂	semidirect
7. #10943	C₂	semidirect
8. #10857	C₂	semidirect
9. C₄×#341	C₂	semidirect
13. #3138	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3138	2
C₂×#2960	2
#21322	2
C₂×#1965	2
C₂×#1957	2
#11061	2
#10943	2
#10857	2
C₄×#341	2