Subgroups — #369296

Order 512.

1532 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 448 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60192	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#35285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21337	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11047	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10939	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#344	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	Q₈×M₁₆	—	2	4	no	—
13	#2962	—	2	4	no	—
14	#2961	—	2	2	no	—
15	#2960	—	2	2	no	—
16	#2905	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
22	#2873	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2858	—	2	2	no	—
26	#2641	—	2	2	no	—
27	#2548	—	2	4	no	—
28	#2435	C₄	1	8	yes	—
29	#2309	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1998	—	2	2	no	—
32	#1997	—	2	2	no	—
33	#1965	—	2	2	no	—
34	#1965	—	2	2	no	—
35	#1965	—	2	4	no	—
36	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
39	#1742	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#533	—	2	1	no	—
48	#533	—	2	1	no	—
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	—	2	1	no	—
51	#533	—	2	1	no	—
52	#533	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×#127	—	2	1	no	—
55	C₂×#127	—	2	1	no	—
56	C₂×#127	—	2	1	no	—
57	C₂×#127	—	2	1	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	—	2	1	no	—
61	C₂×#127	—	2	1	no	—
62	C₂×#127	—	2	2	no	—
63	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×#124	—	2	8	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
67	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#446	—	2	8	no	—
71	#446	—	2	16	no	—
72	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
73	#424	—	2	4	no	—
74	#424	—	2	4	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	#423	—	2	4	no	—
77	#423	—	2	2	no	—
78	#423	—	2	1	no	—
79	#423	—	2	1	no	—
80	#423	D₄	1	2	yes	—
81	#423	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×#100	—	2	8	no	—
85	C₂×#100	—	2	4	no	—
86	C₂×#100	—	2	4	no	—
87	C₂×#100	—	2	8	no	—
88	C₂×#100	—	2	8	no	—
89	C₂×#100	—	4	4	no	—
90	C₂×#100	—	4	4	no	—
91	#405	—	2	4	no	—
92	#405	—	2	4	no	—
93	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
95	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
96	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
97	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
98	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
99	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
100	C₂×#97	—	2	1	no	—
101	C₂×#97	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
104	#394	—	2	16	no	—
105	#390	—	2	8	no	—
106	#390	—	2	8	no	—
107	#390	—	2	8	no	—
108	#379	C₂×C₄	1	16	yes	—
109	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
111	#376	—	2	1	no	—
112	C₄³	—	2	1	no	—
113	#344	—	2	4	no	—
114	#344	—	2	4	no	—
115	#344	—	4	4	no	—
116	#343	—	2	8	no	—
117	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
136	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
159	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
160	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
169	#127	—	4	2	no	—
170	#127	—	4	2	no	—
171	#127	—	4	1	no	—
172	#127	—	4	1	no	—
173	#127	—	4	1	no	—
174	#127	—	4	1	no	—
175	#127	—	4	2	no	—
176	#127	—	4	2	no	—
177	#127	—	4	2	no	—
178	#127	—	4	2	no	—
179	#125	—	2	2	no	—
180	#125	—	2	2	no	—
181	#125	—	2	4	no	—
182	#124	—	8	16	no	—
183	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
187	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
188	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
189	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
190	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
191	#117	—	2	2	no	—
192	#117	—	2	2	no	—
193	#117	—	2	2	no	—
194	#117	—	2	2	no	—
195	#117	—	2	2	no	—
196	#117	—	2	2	no	—
197	#117	—	2	2	no	—
198	#117	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
206	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
218	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
219	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
222	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
223	#100	—	4	16	no	—
224	#100	—	4	8	no	—
225	#100	—	4	8	no	—
226	#97	—	2	8	no	—
227	#97	—	2	4	no	—
228	#97	—	4	1	no	—
229	#97	—	4	1	no	—
230	C₄×C₈	—	2	8	no	—
231	C₄×C₈	—	2	4	no	—
232	C₄×C₈	—	4	1	no	—
233	C₄×C₈	—	4	1	no	—
234	#95	—	2	4	no	—
235	C₂⁴	—	2	4	no	—
236	C₂⁴	—	2	4	no	—
237	C₂⁴	—	2	4	no	—
238	C₂⁴	—	2	8	no	—
239	C₂⁴	—	2	8	no	—
240	C₂⁴	—	8	8	no	—
241	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
245	C₂×D₄	—	4	16	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	4	4	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	4	no	—
267	C₂×D₄	—	4	4	no	—
268	C₂×D₄	—	8	8	no	—
269	C₂×D₄	—	8	8	no	—
270	C₂×D₄	—	8	8	no	—
271	C₂×D₄	—	8	8	no	—
272	C₂×D₄	—	8	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
292	M₁₆	—	2	2	no	—
293	M₁₆	—	2	4	no	—
294	M₁₆	—	2	2	no	—
295	M₁₆	—	2	2	no	—
296	M₁₆	—	2	4	no	—
297	M₁₆	—	2	8	no	—
298	M₁₆	—	2	4	no	—
299	M₁₆	—	4	2	no	—
300	M₁₆	—	4	2	no	—
301	M₁₆	—	4	2	no	—
302	M₁₆	—	4	4	no	—
303	M₁₆	—	4	2	no	—
304	M₁₆	—	4	2	no	—
305	M₁₆	—	4	4	no	—
306	M₁₆	#124	1	4	yes	complemented
307	C₂×C₈	—	2	2	no	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₂×C₈	—	2	4	no	—
310	C₂×C₈	—	2	2	no	—
311	C₂×C₈	—	2	4	no	—
312	C₂×C₈	—	4	2	no	—
313	C₂×C₈	—	4	2	no	—
314	C₂×C₈	—	4	2	no	—
315	C₂×C₈	—	4	2	no	—
316	C₂×C₈	—	4	2	no	—
317	C₂×C₈	—	4	2	no	—
318	C₂×C₈	—	4	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
332	C₄²	—	2	4	no	—
333	C₄²	—	2	4	no	—
334	C₄²	—	4	8	no	—
335	C₄²	—	4	2	no	—
336	C₄²	—	4	2	no	—
337	C₄²	#120	1	2	yes	—
338	C₄²	#120	1	2	yes	—
339	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
340	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
341	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
342	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
343	C₄²	#121	1	2	yes	—
344	C₄²	#121	1	2	yes	—
345	C₄²	#123	1	2	yes	—
346	C₄²	#123	1	2	yes	—
347	C₂³	—	4	2	no	—
348	C₂³	—	4	16	no	—
349	C₂³	—	4	8	no	—
350	C₂³	—	4	4	no	—
351	C₂³	—	4	4	no	—
352	C₂³	—	4	8	no	—
353	C₂³	—	4	4	no	—
354	C₂³	—	8	8	no	—
355	C₂³	—	8	8	no	—
356	C₂³	—	16	8	no	—
357	C₂³	—	16	8	no	—
358	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
362	C₂³	#520	1	2	yes	—
363	Q₈	—	4	8	no	—
364	Q₈	—	8	4	no	—
365	D₄	—	8	8	no	—
366	D₄	—	8	8	no	—
367	D₄	—	8	8	no	—
368	D₄	—	8	8	no	—
369	D₄	—	8	4	no	—
370	D₄	—	8	2	no	—
371	D₄	—	8	2	no	—
372	D₄	—	8	4	no	—
373	D₄	—	8	2	no	—
374	D₄	—	8	2	no	—
375	C₂×C₄	—	2	4	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	4	no	—
378	C₂×C₄	—	2	8	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	8	no	—
383	C₂×C₄	—	4	8	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
407	C₈	—	2	4	no	—
408	C₈	—	4	4	no	—
409	C₈	—	4	4	no	—
410	C₈	—	4	2	no	—
411	C₈	—	8	2	no	—
412	C₂²	—	2	2	no	—
413	C₂²	—	2	2	no	—
414	C₂²	—	2	2	no	—
415	C₂²	—	4	2	no	—
416	C₂²	—	4	2	no	—
417	C₂²	—	8	16	no	—
418	C₂²	—	8	8	no	—
419	C₂²	—	8	4	no	—
420	C₂²	—	16	4	no	—
421	C₂²	—	16	8	no	—
422	C₂²	—	16	4	no	—
423	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
424	C₂²	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
425	C₂²	#2326	1	1	yes	characteristic
426	C₂²	#2341	1	2	yes	—
427	C₂²	#2367	1	2	yes	—
428	C₄	—	2	2	no	—
429	C₄	—	2	2	no	—
430	C₄	—	2	2	no	—
431	C₄	—	4	8	no	—
432	C₄	—	8	4	no	—
433	C₄	#1914	1	4	yes	—
434	C₄	#2426	1	2	yes	—
435	C₄	#2431	1	1	yes	characteristic
436	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#2448	1	2	yes	—
438	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
439	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
440	C₂	—	2	2	no	—
441	C₂	—	2	1	no	—
442	C₂	—	2	2	no	—
443	C₂	—	2	1	no	—
444	C₂	—	16	4	no	—
445	C₂	#14026	1	1	yes	characteristic
446	C₂	C₂×#1914	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#386
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60192	C₂	semidirect
3. #21337	C₂	semidirect
6. #11047	C₂	semidirect
7. #10939	C₂	semidirect
8. #10856	C₂	semidirect
9. C₄×#344	C₂	semidirect
306. M₁₆	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60192	2
#35285	2
#21337	2
C₂×#1965	2
#11047	2
#10939	2
#10856	2
C₄×#344	2