Subgroups — #369372

Order 512.

1572 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 441 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#14709	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11195	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10781	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
13	#3142	—	2	4	no	—
14	#3142	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#491	—	2	1	no	—
16	C₂×#490	—	2	1	no	—
17	C₂×#488	—	2	2	no	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2364	—	2	4	no	—
23	#2352	—	2	4	no	—
24	#2328	—	2	1	no	—
25	#2327	—	2	1	no	—
26	#2311	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×#124	—	2	2	no	—
28	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1989	—	2	4	no	—
32	#1962	—	2	4	no	—
33	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
34	#1736	C₂²	1	2	yes	—
35	#1736	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	#1436	—	2	4	no	—
39	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	2	no	—
45	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#532	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#125	—	2	1	no	—
50	C₂×#125	—	2	1	no	—
51	C₂×#125	—	2	2	no	—
52	C₂×#125	—	2	2	no	—
53	C₂×#125	—	2	2	no	—
54	C₂×#125	—	2	2	no	—
55	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
56	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×#121	—	2	2	no	—
58	#520	—	2	8	no	—
59	#520	—	4	4	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂×#117	—	2	2	no	—
65	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#491	—	2	8	no	—
75	#490	—	2	8	no	—
76	#488	—	2	16	no	—
77	#423	—	2	2	no	—
78	#423	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×#104	—	2	8	no	—
81	C₂×#104	—	2	8	no	—
82	C₂×#104	—	4	4	no	—
83	#417	—	2	8	no	—
84	#417	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
85	C₂×#103	—	2	4	no	—
86	C₂×#102	—	2	4	no	—
87	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
89	C₂×#97	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	#391	—	2	2	no	—
92	#390	—	2	2	no	—
93	#388	—	2	8	no	—
94	#387	—	2	8	no	—
95	#386	—	2	8	no	—
96	#386	—	2	4	no	—
97	#382	—	2	1	no	—
98	#382	—	2	2	no	—
99	#382	—	2	1	no	—
100	#380	—	2	4	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
102	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
103	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
104	#376	—	2	1	no	—
105	C₂×#95	—	2	8	no	—
106	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
107	C₄³	—	2	1	no	—
108	C₄³	—	2	2	no	—
109	C₄³	—	2	2	no	—
110	#343	—	4	4	no	—
111	#340	—	2	4	no	—
112	#340	—	2	4	no	—
113	#339	—	2	4	no	—
114	#339	—	2	4	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	4	no	—
118	C₂×#41	—	2	4	no	—
119	C₂×#41	—	2	4	no	—
120	C₂×#41	—	2	4	no	—
121	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	#125	—	2	4	no	—
151	#125	—	2	4	no	—
152	#125	—	2	8	no	—
153	#125	—	4	4	no	—
154	#125	—	4	2	no	—
155	#125	—	4	2	no	—
156	#124	—	2	4	no	—
157	#124	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
158	#121	—	2	8	no	—
159	#121	—	2	8	no	—
160	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
161	C₄×D₄	—	2	8	no	—
162	C₄×D₄	—	2	8	no	—
163	C₄×D₄	—	4	8	no	—
164	C₄×D₄	—	4	16	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	4	4	no	—
169	#117	—	4	4	no	—
170	#117	#41	1	4	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
206	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
207	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
213	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
215	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
216	#104	—	4	16	no	—
217	#103	—	2	16	no	—
218	#102	—	2	16	no	—
219	#97	—	2	4	no	—
220	C₄×C₈	—	2	4	no	—
221	#95	—	2	8	no	—
222	#95	—	2	4	no	—
223	#95	—	2	4	no	—
224	#95	—	2	4	no	—
225	#95	—	4	16	no	—
226	C₂⁴	—	2	2	no	—
227	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	#41	—	2	8	no	—
229	#41	—	2	8	no	—
230	#41	—	2	8	no	—
231	#41	—	2	8	no	—
232	#41	—	4	4	no	—
233	#41	—	4	4	no	—
234	#41	—	4	4	no	—
235	#41	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
239	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	8	4	no	—
249	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
274	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
288	M₁₆	—	2	4	no	—
289	M₁₆	—	2	4	no	—
290	M₁₆	—	4	2	no	—
291	M₁₆	—	4	2	no	—
292	M₁₆	—	4	4	no	—
293	M₁₆	—	4	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
314	C₄⋊C₄	#124	1	4	yes	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
320	C₄²	—	2	4	no	—
321	C₄²	—	2	4	no	—
322	C₄²	—	2	4	no	—
323	C₄²	—	4	8	no	—
324	C₄²	—	4	16	no	—
325	C₄²	—	4	2	no	—
326	C₄²	—	4	2	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	—	8	4	no	—
329	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
330	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
331	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
332	C₄²	#121	1	4	yes	—
333	C₄²	#123	1	2	yes	—
334	C₄²	#123	1	2	yes	—
335	C₂³	—	2	4	no	—
336	C₂³	—	2	4	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	—	4	4	no	—
340	C₂³	—	4	4	no	—
341	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
343	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	#546	1	2	yes	—
345	C₂³	#548	1	2	yes	—
346	Q₈	—	2	8	no	—
347	Q₈	—	4	4	no	—
348	D₄	—	2	8	no	—
349	D₄	—	4	8	no	—
350	D₄	—	4	8	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	8	8	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	8	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	8	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	8	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	8	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	8	no	—
380	C₂×C₄	—	16	8	no	—
381	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
382	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
383	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
401	C₈	—	4	4	no	—
402	C₈	—	8	2	no	—
403	C₂²	—	2	4	no	—
404	C₂²	—	2	2	no	—
405	C₂²	—	2	2	no	—
406	C₂²	—	2	2	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	4	4	no	—
409	C₂²	—	4	8	no	—
410	C₂²	—	8	2	no	—
411	C₂²	—	8	2	no	—
412	C₂²	—	8	4	no	—
413	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#2367	1	2	yes	—
415	C₂²	#2427	1	2	yes	—
416	C₂²	#2432	1	1	yes	characteristic
417	C₂²	#2435	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#3018	1	4	yes	—
419	C₄	—	2	4	no	—
420	C₄	—	2	4	no	—
421	C₄	—	4	8	no	—
422	C₄	—	4	4	no	—
423	C₄	—	4	4	no	—
424	C₄	—	8	4	no	—
425	C₄	—	8	2	no	—
426	C₄	—	8	4	no	—
427	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#2339	1	2	yes	—
430	C₄	#2447	1	2	yes	—
431	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
432	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
433	C₂	—	2	2	no	—
434	C₂	—	2	2	no	—
435	C₂	—	8	4	no	—
436	C₂	#14027	1	1	yes	characteristic
437	C₂	#20942	1	2	yes	—
438	C₂	#25668	1	2	yes	—
439	C₂	#25877	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21314	C₂	semidirect
5. #14709	C₂	semidirect
6. #11195	C₂	semidirect
7. #10858	C₂	semidirect
8. #10781	C₂	semidirect
9. C₄×#339	C₂	semidirect
14. #3142	C₄	semidirect
55. C₂×#125	C₂×C₄	semidirect
84. #417	C₂×C₄	semidirect
88. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3142	2
#34208	2
#21314	2
C₂×#1962	2
#14709	2
#11195	2
#10858	2
#10781	2
C₄×#339	2