Subgroups — #369391

Order 512.

1438 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2932	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1995	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1963	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11191	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10791	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#10694	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3131	—	2	4	no	—
14	#3131	—	2	4	no	—
15	C₂×#488	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₂×#487	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#486	C₄	1	2	yes	complemented
18	#2932	—	2	4	no	—
19	#2932	—	2	4	no	—
20	C₂×#435	—	2	4	no	—
21	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1995	—	2	4	no	—
30	#1985	—	2	4	no	—
31	#1963	—	2	4	no	—
32	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
34	#1729	C₂²	1	2	yes	—
35	#1729	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂×#131	—	2	4	no	—
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	—	2	8	no	—
42	C₂×#131	—	4	4	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#533	—	2	2	no	—
51	#533	—	2	2	no	—
52	#533	—	2	2	no	—
53	#533	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	#532	—	2	2	no	—
56	#532	D₄	1	4	yes	—
57	#532	D₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×#121	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#488	—	2	16	no	—
71	#487	—	2	8	no	—
72	#486	—	2	8	no	—
73	#435	—	2	32	no	—
74	#423	—	2	2	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	#423	—	2	2	no	—
77	#423	D₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×#104	—	2	8	no	—
81	C₂×#104	—	2	8	no	—
82	C₂×#104	—	4	4	no	—
83	#416	—	2	8	no	—
84	#416	—	2	8	no	—
85	C₂×#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
86	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
87	#408	—	2	4	no	—
88	#408	—	2	4	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₂×#97	—	2	2	no	—
91	C₂×#97	—	2	2	no	—
92	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#376	—	2	2	no	—
98	#376	—	2	2	no	—
99	C₂×#95	—	2	2	no	—
100	#341	—	4	4	no	—
101	#339	—	2	8	no	—
102	#336	—	2	4	no	—
103	#336	—	2	4	no	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	#131	—	4	16	no	—
124	#131	—	4	16	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
162	#127	—	2	2	no	—
163	#127	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
164	#125	—	2	4	no	—
165	#125	—	2	4	no	—
166	#124	—	2	4	no	—
167	#124	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
168	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
170	#121	—	2	8	no	—
171	#121	—	2	8	no	—
172	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
173	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
174	C₄×D₄	—	2	8	no	—
175	C₄×D₄	—	2	8	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	2	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
199	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
200	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
201	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
202	#104	—	4	16	no	—
203	#103	—	2	16	no	—
204	#102	—	2	16	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
206	#97	—	2	8	no	—
207	C₄×C₈	—	2	4	no	—
208	C₄×C₈	—	2	4	no	—
209	#95	—	4	4	no	—
210	C₂⁴	—	2	2	no	—
211	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
212	#41	—	2	8	no	—
213	#41	—	2	8	no	—
214	#41	—	2	8	no	—
215	#41	—	2	8	no	—
216	#41	—	4	4	no	—
217	#41	—	4	4	no	—
218	#41	—	4	4	no	—
219	#41	—	4	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
225	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	8	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	8	4	no	—
235	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
263	M₁₆	—	2	8	no	—
264	M₁₆	—	4	16	no	—
265	M₁₆	—	4	4	no	—
266	M₁₆	—	4	4	no	—
267	M₁₆	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	16	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
292	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	—	2	4	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	—	4	2	no	—
305	C₄²	—	4	2	no	—
306	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
308	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
309	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
310	C₄²	#120	1	4	yes	—
311	C₄²	#121	1	4	yes	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	2	4	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	8	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	#529	1	2	yes	—
321	C₂³	#542	1	2	yes	—
322	Q₈	—	2	8	no	—
323	Q₈	—	4	4	no	—
324	Q₈	—	8	8	no	—
325	D₄	—	2	8	no	—
326	D₄	—	4	8	no	—
327	D₄	—	4	8	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	8	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	4	no	—
347	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
367	C₈	—	2	4	no	—
368	C₈	—	4	4	no	—
369	C₈	—	4	2	no	—
370	C₈	—	4	4	no	—
371	C₈	—	8	2	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	4	8	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2326	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2427	1	2	yes	—
384	C₂²	#2447	1	2	yes	—
385	C₂²	#2957	1	4	yes	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	8	4	no	—
390	C₄	—	8	4	no	—
391	C₄	#2339	1	2	yes	—
392	C₄	#2367	1	2	yes	—
393	C₄	#2432	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	2	2	no	—
399	C₂	—	8	4	no	—
400	C₂	#14027	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#20919	1	2	yes	—
402	C₂	#21659	1	2	yes	—
403	C₂	#22236	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1995	C₂	semidirect
4. #21301	C₂	semidirect
6. #11191	C₂	semidirect
7. #10844	C₂	semidirect
8. #10791	C₂	semidirect
9. #10694	C₂	semidirect
15. C₂×#488	C₄	semidirect
16. C₂×#487	C₄	semidirect
17. C₂×#486	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3131	2
C₂×#2932	2
C₂×#1995	2
#21301	2
C₂×#1963	2
#11191	2
#10844	2
#10791	2
#10694	2