Subgroups — #369396

Order 512.

1820 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2641	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21325	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11161	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10749	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#10701	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2641	—	2	4	no	—
17	#2641	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#394	—	2	4	no	—
19	#2366	—	2	4	no	—
20	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
21	#2328	—	2	2	no	—
22	#2309	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×#127	—	2	2	no	—
24	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
25	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1992	—	2	2	no	—
29	#1991	—	2	2	no	—
30	#1989	—	2	4	no	—
31	#1965	—	2	4	no	—
32	#1736	C₂²	1	2	yes	—
33	#1736	C₂²	1	2	yes	—
34	#1736	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂³×D₄	D₄	1	4	yes	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#127	—	2	1	no	—
43	C₂×#127	—	2	1	no	—
44	C₂×#127	—	2	2	no	—
45	C₂×#127	—	2	2	no	—
46	C₂×#127	—	2	2	no	—
47	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
49	C₂×#125	—	2	2	no	—
50	C₂×#125	—	2	2	no	—
51	C₂×#125	—	2	1	no	—
52	C₂×#125	—	2	1	no	—
53	C₂×#125	—	2	2	no	—
54	C₂×#125	—	2	2	no	—
55	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
56	#518	—	2	8	no	—
57	#518	—	4	4	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
61	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#423	—	2	2	no	—
71	#423	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×#100	—	2	8	no	—
74	C₂×#100	—	2	8	no	—
75	C₂×#100	—	4	4	no	—
76	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂×#97	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
80	#394	—	2	32	no	—
81	#390	—	2	8	no	—
82	#390	—	2	8	no	—
83	#390	—	2	4	no	—
84	#390	—	2	4	no	—
85	#390	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
86	#386	—	2	16	no	—
87	#384	D₄	1	2	yes	—
88	#382	D₄	1	2	yes	—
89	#380	—	2	2	no	—
90	#379	—	2	4	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	#376	—	2	1	no	—
95	#376	—	2	2	no	—
96	#376	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
97	C₂×#95	—	2	2	no	—
98	C₄³	—	2	1	no	—
99	#340	—	2	4	no	—
100	#340	—	2	4	no	—
101	#340	—	2	8	no	—
102	#339	—	2	4	no	—
103	#339	—	2	4	no	—
104	#339	—	4	4	no	—
105	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
118	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	#127	—	2	4	no	—
139	#127	—	2	8	no	—
140	#127	—	2	4	no	—
141	#127	—	2	4	no	—
142	#127	—	2	4	no	—
143	#127	—	2	8	no	—
144	#125	—	2	8	no	—
145	#125	—	2	4	no	—
146	#125	—	2	4	no	—
147	#125	—	4	2	no	—
148	#125	—	4	2	no	—
149	#125	—	4	4	no	—
150	C₄×D₄	—	4	16	no	—
151	C₄×D₄	—	4	8	no	—
152	C₄×D₄	—	4	8	no	—
153	C₄×D₄	—	8	16	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	2	4	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	#41	1	4	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
199	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
200	#100	—	4	16	no	—
201	#97	—	4	2	no	—
202	C₄×C₈	—	4	2	no	—
203	#95	—	2	8	no	—
204	#95	—	2	4	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	C₂⁴	—	2	4	no	—
207	C₂⁴	—	2	4	no	—
208	C₂⁴	—	2	8	no	—
209	C₂⁴	—	2	8	no	—
210	C₂⁴	—	4	16	no	—
211	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
212	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	8	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	8	no	—
221	C₂×D₄	—	2	16	no	—
222	C₂×D₄	—	2	16	no	—
223	C₂×D₄	—	4	16	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	8	8	no	—
235	C₂×D₄	—	8	16	no	—
236	C₂×D₄	—	8	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	4	2	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	4	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	#124	1	4	yes	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
295	C₄²	—	2	4	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	4	8	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
305	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
306	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
307	C₄²	#121	1	2	yes	—
308	C₄²	#121	1	2	yes	—
309	C₄²	#121	1	4	yes	—
310	C₂³	—	2	4	no	—
311	C₂³	—	2	8	no	—
312	C₂³	—	2	16	no	—
313	C₂³	—	4	16	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	4	16	no	—
317	C₂³	—	4	8	no	—
318	C₂³	—	8	8	no	—
319	C₂³	—	8	16	no	—
320	C₂³	—	8	16	no	—
321	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	#546	1	2	yes	—
325	C₂³	#547	1	2	yes	—
326	D₄	—	4	32	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	8	no	—
329	D₄	—	4	8	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	4	no	—
333	D₄	—	8	16	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	8	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	16	16	no	—
353	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
373	C₈	—	4	4	no	—
374	C₈	—	8	2	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	4	8	no	—
380	C₂²	—	4	16	no	—
381	C₂²	—	8	16	no	—
382	C₂²	—	8	8	no	—
383	C₂²	—	8	8	no	—
384	C₂²	—	16	8	no	—
385	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#2339	1	2	yes	—
387	C₂²	#2432	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#2435	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#2447	1	2	yes	—
390	C₂²	#3019	1	4	yes	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	4	4	no	—
394	C₄	—	8	4	no	—
395	C₄	—	8	4	no	—
396	C₄	—	8	2	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#2367	1	2	yes	—
401	C₄	#2427	1	2	yes	—
402	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
404	C₂	—	2	2	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	8	8	no	—
407	C₂	#14027	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#20953	1	2	yes	—
409	C₂	#25690	1	2	yes	—
410	C₂	#25878	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21325	C₂	semidirect
4. #21314	C₂	semidirect
6. #11161	C₂	semidirect
7. #10840	C₂	semidirect
8. #10749	C₂	semidirect
9. #10701	C₂	semidirect
17. #2641	C₄	semidirect
55. C₂×#125	C₂×C₄	semidirect
85. #390	C₂×C₄	semidirect
96. #376	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2641	2
#34210	2
#21325	2
#21314	2
C₂×#1965	2
#11161	2
#10840	2
#10749	2
#10701	2