Subgroups — #369400

Order 512.

1460 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 461 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34637	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21306	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#21212	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11160	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10751	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#10701	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2935	—	2	4	no	—
14	D₄×M₁₆	—	2	4	no	—
15	#2932	—	2	2	no	—
16	#2931	—	2	2	no	—
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#410	C₂²	1	4	yes	—
19	#2879	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2642	C₄	1	2	yes	complemented
22	#2641	C₄	1	2	yes	complemented
23	#2640	C₄	1	4	yes	complemented
24	#2639	—	2	4	no	—
25	#2398	—	2	4	no	—
26	#2297	C₂²	1	4	yes	—
27	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1995	—	2	2	no	—
31	#1994	—	2	2	no	—
32	#1986	—	2	4	no	—
33	#1964	—	2	4	no	—
34	#1733	C₂²	1	2	yes	—
35	#1733	C₂²	1	2	yes	—
36	#1733	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
41	#568	—	2	8	no	—
42	#568	—	4	4	no	—
43	C₂×#131	—	2	4	no	—
44	C₂×#131	—	2	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#533	—	2	2	no	—
50	#533	—	2	1	no	—
51	#533	—	2	1	no	—
52	#533	—	2	2	no	—
53	#533	—	2	1	no	—
54	#533	—	2	1	no	—
55	#532	—	2	1	no	—
56	#532	—	2	1	no	—
57	#532	—	2	2	no	—
58	#532	—	2	2	no	—
59	#532	—	2	1	no	—
60	#532	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×#121	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#436	—	2	8	no	—
76	#435	—	2	16	no	—
77	C₈×D₄	—	2	8	no	—
78	#423	—	2	2	no	—
79	#423	D₄	1	2	yes	—
80	#423	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	#410	—	2	8	no	—
83	#410	—	4	4	no	—
84	C₂×#99	—	2	8	no	—
85	#408	—	2	4	no	—
86	#408	—	2	4	no	—
87	#407	—	2	4	no	—
88	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
90	C₂×#97	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
92	#400	—	2	8	no	—
93	#397	—	2	8	no	—
94	#394	—	2	8	no	—
95	#393	—	2	8	no	—
96	#391	C₂×C₄	1	8	yes	—
97	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
98	#386	—	2	8	no	—
99	#384	—	2	1	no	—
100	#382	—	2	1	no	—
101	#380	—	2	2	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
106	#376	—	2	2	no	—
107	#376	—	2	1	no	—
108	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×#95	—	2	2	no	—
111	C₄³	—	2	1	no	—
112	#339	—	2	4	no	—
113	#339	—	2	4	no	—
114	#339	—	2	8	no	—
115	#339	—	2	4	no	—
116	#339	—	2	4	no	—
117	#339	—	4	4	no	—
118	C₂×#41	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	4	no	—
123	C₂×#41	—	2	4	no	—
124	C₂×#41	—	2	4	no	—
125	C₂×#41	—	2	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	#131	—	4	16	no	—
136	#131	—	4	8	no	—
137	#131	—	4	8	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
163	#127	—	2	1	no	—
164	#127	—	2	2	no	—
165	#127	—	2	1	no	—
166	#125	—	2	4	no	—
167	#125	—	2	2	no	—
168	#125	—	2	2	no	—
169	#124	—	2	2	no	—
170	#124	—	2	2	no	—
171	#124	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
176	#121	—	2	4	no	—
177	#121	—	2	4	no	—
178	#121	—	2	4	no	—
179	#121	—	2	4	no	—
180	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
181	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
182	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₄×D₄	—	2	4	no	—
185	C₄×D₄	—	2	4	no	—
186	C₄×D₄	—	2	4	no	—
187	C₄×D₄	—	2	4	no	—
188	#117	—	2	2	no	—
189	#117	—	2	2	no	—
190	#117	—	2	2	no	—
191	#117	—	2	2	no	—
192	#117	—	2	2	no	—
193	#117	—	2	2	no	—
194	#117	—	2	2	no	—
195	#117	—	2	4	no	—
196	#117	—	2	4	no	—
197	#117	#41	1	4	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
210	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
219	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
229	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
231	#99	—	4	16	no	—
232	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
233	#97	—	2	4	no	—
234	C₄×C₈	—	2	4	no	—
235	#95	—	2	4	no	—
236	#95	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	16	no	—
238	#95	—	4	2	no	—
239	#95	—	4	2	no	—
240	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	#41	—	4	2	no	—
243	#41	—	4	4	no	—
244	#41	—	4	2	no	—
245	#41	—	4	2	no	—
246	#41	—	4	2	no	—
247	#41	—	4	4	no	—
248	#41	—	4	4	no	—
249	#41	—	4	4	no	—
250	#41	—	4	4	no	—
251	#41	—	4	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
259	C₂×D₄	—	2	4	no	—
260	C₂×D₄	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	2	8	no	—
262	C₂×D₄	—	2	8	no	—
263	C₂×D₄	—	2	2	no	—
264	C₂×D₄	—	2	2	no	—
265	C₂×D₄	—	2	4	no	—
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	8	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
299	M₁₆	—	2	2	no	—
300	M₁₆	—	2	4	no	—
301	M₁₆	—	2	2	no	—
302	M₁₆	—	2	2	no	—
303	M₁₆	—	2	8	no	—
304	M₁₆	—	4	16	no	—
305	M₁₆	—	4	4	no	—
306	M₁₆	—	4	2	no	—
307	M₁₆	#124	1	4	yes	—
308	C₂×C₈	—	2	2	no	—
309	C₂×C₈	—	2	4	no	—
310	C₂×C₈	—	2	2	no	—
311	C₂×C₈	—	2	4	no	—
312	C₂×C₈	—	4	16	no	—
313	C₂×C₈	—	4	2	no	—
314	C₂×C₈	—	4	2	no	—
315	C₂×C₈	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
327	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
336	C₄²	—	2	4	no	—
337	C₄²	—	2	4	no	—
338	C₄²	—	2	4	no	—
339	C₄²	—	4	2	no	—
340	C₄²	—	4	2	no	—
341	C₄²	—	4	2	no	—
342	C₄²	—	4	2	no	—
343	C₄²	—	4	2	no	—
344	C₄²	—	4	2	no	—
345	C₄²	—	4	2	no	—
346	C₄²	—	8	4	no	—
347	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
348	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
351	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₄²	#120	1	2	yes	—
354	C₄²	#120	1	2	yes	—
355	C₄²	#123	1	2	yes	—
356	C₄²	#123	1	2	yes	—
357	C₂³	—	2	4	no	—
358	C₂³	—	2	8	no	—
359	C₂³	—	4	2	no	—
360	C₂³	—	4	8	no	—
361	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
363	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
364	C₂³	#546	1	2	yes	—
365	C₂³	#547	1	2	yes	—
366	Q₈	—	4	2	no	—
367	Q₈	—	4	4	no	—
368	Q₈	—	4	2	no	—
369	Q₈	—	8	4	no	—
370	Q₈	—	8	4	no	—
371	D₄	—	4	8	no	—
372	D₄	—	4	8	no	—
373	D₄	—	4	4	no	—
374	D₄	—	4	4	no	—
375	D₄	—	4	2	no	—
376	D₄	—	4	4	no	—
377	D₄	—	4	2	no	—
378	D₄	—	8	4	no	—
379	C₂×C₄	—	2	8	no	—
380	C₂×C₄	—	2	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	2	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	8	no	—
390	C₂×C₄	—	4	8	no	—
391	C₂×C₄	—	4	8	no	—
392	C₂×C₄	—	4	4	no	—
393	C₂×C₄	—	4	4	no	—
394	C₂×C₄	—	4	4	no	—
395	C₂×C₄	—	8	4	no	—
396	C₂×C₄	—	8	4	no	—
397	C₂×C₄	—	8	4	no	—
398	C₂×C₄	—	8	4	no	—
399	C₂×C₄	—	8	2	no	—
400	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
408	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
409	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
410	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
411	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
412	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
413	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
414	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
415	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
416	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
417	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
418	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
419	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
420	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
421	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
422	C₈	—	2	4	no	—
423	C₈	—	4	2	no	—
424	C₈	—	4	4	no	—
425	C₂²	—	2	2	no	—
426	C₂²	—	2	2	no	—
427	C₂²	—	2	2	no	—
428	C₂²	—	4	2	no	—
429	C₂²	—	4	2	no	—
430	C₂²	—	4	4	no	—
431	C₂²	—	4	8	no	—
432	C₂²	—	8	8	no	—
433	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
434	C₂²	#2339	1	2	yes	—
435	C₂²	#2427	1	2	yes	—
436	C₂²	#2544	1	1	yes	characteristic
437	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
438	C₄	—	2	2	no	—
439	C₄	—	2	2	no	—
440	C₄	—	2	2	no	—
441	C₄	—	2	2	no	—
442	C₄	—	4	4	no	—
443	C₄	—	8	4	no	—
444	C₄	—	8	4	no	—
445	C₄	—	8	4	no	—
446	C₄	—	16	2	no	—
447	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
448	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
449	C₄	#2367	1	2	yes	—
450	C₄	#2432	1	1	yes	characteristic
451	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
452	C₄	#2447	1	2	yes	—
453	C₂	—	2	2	no	—
454	C₂	—	2	2	no	—
455	C₂	—	2	1	no	—
456	C₂	—	2	1	no	—
457	C₂	—	8	4	no	—
458	C₂	#14027	1	1	yes	characteristic
459	C₂	#20947	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#386
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21329	C₂	semidirect
4. #21306	C₂	semidirect
6. #11160	C₂	semidirect
7. #10840	C₂	semidirect
8. #10751	C₂	semidirect
9. #10701	C₂	semidirect
21. #2642	C₄	semidirect
22. #2641	C₄	semidirect
23. #2640	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60144	2
#34637	2
#21329	2
#21306	2
#21212	2
#11160	2
#10840	2
#10751	2
#10701	2