Subgroups — #369404

Order 512.

1432 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 436 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1991	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#21201	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11192	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10774	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3142	—	2	4	no	—
14	#3142	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#491	—	2	1	no	—
16	C₂×#490	—	2	1	no	—
17	C₂×#488	—	2	2	no	—
18	#2931	—	2	4	no	—
19	#2931	—	2	4	no	—
20	C₂×#436	—	2	2	no	—
21	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
22	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1998	—	2	4	no	—
31	#1991	—	2	2	no	—
32	#1991	—	2	2	no	—
33	#1961	—	2	1	no	—
34	#1960	—	2	1	no	—
35	#1958	—	2	2	no	—
36	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#131	—	2	4	no	—
44	C₂×#131	—	2	4	no	—
45	C₂×#131	—	2	8	no	—
46	C₂×#131	—	4	4	no	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#532	—	2	2	no	—
55	#532	—	2	2	no	—
56	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#532	D₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#125	—	2	2	no	—
61	C₂×#125	—	2	1	no	—
62	C₂×#125	—	2	1	no	—
63	C₂×#125	—	2	2	no	—
64	C₂×#125	—	2	2	no	—
65	C₂×#125	—	2	2	no	—
66	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×#121	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#491	—	2	8	no	—
75	#490	—	2	8	no	—
76	#488	—	2	16	no	—
77	#436	—	2	16	no	—
78	C₈×D₄	—	2	16	no	—
79	#423	—	2	2	no	—
80	#423	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	#417	—	2	8	no	—
83	#417	—	2	8	no	—
84	#417	—	4	4	no	—
85	#417	C₂×C₄	1	16	yes	—
86	C₂×#103	—	2	4	no	—
87	C₂×#103	—	2	4	no	—
88	C₂×#102	—	2	4	no	—
89	C₂×#102	—	2	4	no	—
90	#408	—	2	4	no	—
91	#408	—	2	4	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
93	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	C₂×#97	—	2	1	no	—
98	C₂×#97	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
105	#382	—	2	1	no	—
106	#382	—	2	1	no	—
107	#382	—	2	2	no	—
108	C₂×#95	—	2	2	no	—
109	#343	—	2	8	no	—
110	#343	—	4	4	no	—
111	#341	—	2	4	no	—
112	#341	—	2	4	no	—
113	#340	—	2	4	no	—
114	#340	—	2	2	no	—
115	#340	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	4	no	—
119	C₂×#41	—	2	4	no	—
120	C₂×#41	—	2	4	no	—
121	C₂×#41	—	2	4	no	—
122	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	#131	—	4	16	no	—
134	#131	—	4	16	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
151	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
173	#127	—	2	2	no	—
174	#127	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
175	#125	—	2	4	no	—
176	#125	—	2	4	no	—
177	#125	—	2	8	no	—
178	#125	—	4	4	no	—
179	#125	—	4	2	no	—
180	#125	—	4	2	no	—
181	#124	—	2	4	no	—
182	#124	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
183	#121	—	2	8	no	—
184	#121	—	2	8	no	—
185	C₄×D₄	—	2	8	no	—
186	C₄×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
210	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
211	#103	—	2	16	no	—
212	#103	—	4	8	no	—
213	#102	—	2	16	no	—
214	#102	—	4	8	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
216	#97	—	2	4	no	—
217	#97	—	4	2	no	—
218	C₄×C₈	—	2	4	no	—
219	C₄×C₈	—	2	4	no	—
220	C₄×C₈	—	2	4	no	—
221	C₄×C₈	—	4	2	no	—
222	#95	—	4	2	no	—
223	#95	—	4	2	no	—
224	C₂⁴	—	2	2	no	—
225	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	#41	—	2	8	no	—
227	#41	—	2	8	no	—
228	#41	—	2	8	no	—
229	#41	—	2	8	no	—
230	#41	—	4	4	no	—
231	#41	—	4	4	no	—
232	#41	—	4	4	no	—
233	#41	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
237	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
281	M₁₆	—	2	4	no	—
282	M₁₆	—	2	4	no	—
283	M₁₆	—	2	4	no	—
284	M₁₆	—	2	8	no	—
285	M₁₆	—	2	4	no	—
286	M₁₆	—	4	16	no	—
287	M₁₆	—	4	2	no	—
288	M₁₆	—	4	2	no	—
289	M₁₆	—	4	2	no	—
290	M₁₆	—	4	4	no	—
291	M₁₆	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	1	no	—
293	C₂×C₈	—	2	1	no	—
294	C₂×C₈	—	2	1	no	—
295	C₂×C₈	—	2	1	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	4	16	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	—	4	2	no	—
308	C₂×C₈	—	4	2	no	—
309	C₂×C₈	—	4	2	no	—
310	C₂×C₈	—	4	2	no	—
311	C₂×C₈	—	4	2	no	—
312	C₂×C₈	—	4	2	no	—
313	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
314	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
315	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
326	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
327	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
328	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
329	C₄²	#120	1	4	yes	—
330	C₄²	#121	1	2	yes	—
331	C₄²	#121	1	2	yes	—
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	C₂³	—	2	2	no	—
334	C₂³	—	2	4	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	4	2	no	—
337	C₂³	—	4	4	no	—
338	C₂³	—	4	4	no	—
339	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	#556	1	2	yes	—
343	C₂³	#559	1	2	yes	—
344	Q₈	—	2	8	no	—
345	Q₈	—	4	4	no	—
346	D₄	—	2	8	no	—
347	D₄	—	4	16	no	—
348	D₄	—	4	8	no	—
349	D₄	—	4	8	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	8	4	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	—	16	4	no	—
373	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
393	C₈	—	2	2	no	—
394	C₈	—	2	2	no	—
395	C₈	—	4	4	no	—
396	C₈	—	4	4	no	—
397	C₈	—	4	2	no	—
398	C₈	—	4	4	no	—
399	C₂²	—	2	2	no	—
400	C₂²	—	2	2	no	—
401	C₂²	—	2	2	no	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	2	4	no	—
404	C₂²	—	4	8	no	—
405	C₂²	—	4	4	no	—
406	C₂²	—	8	2	no	—
407	C₂²	—	8	2	no	—
408	C₂²	—	8	4	no	—
409	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#2367	1	2	yes	—
411	C₂²	#2447	1	2	yes	—
412	C₂²	#2544	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#3067	1	2	yes	—
415	C₂²	#3067	1	2	yes	—
416	C₄	—	2	4	no	—
417	C₄	—	2	4	no	—
418	C₄	—	4	4	no	—
419	C₄	—	8	4	no	—
420	C₄	—	16	2	no	—
421	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
422	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
423	C₄	#2339	1	2	yes	—
424	C₄	#2427	1	2	yes	—
425	C₄	#2432	1	1	yes	characteristic
426	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
427	C₂	—	2	2	no	—
428	C₂	—	2	2	no	—
429	C₂	—	8	4	no	—
430	C₂	#14027	1	1	yes	characteristic
431	C₂	#21003	1	2	yes	—
432	C₂	#28633	1	2	yes	—
433	C₂	#28733	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#28734	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1998	C₂	semidirect
4. C₂×#1991	C₂	semidirect
6. #11192	C₂	semidirect
7. #10858	C₂	semidirect
8. #10774	C₂	semidirect
9. C₄×#341	C₂	semidirect
14. #3142	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3142	2
C₂×#2931	2
C₂×#1998	2
C₂×#1991	2
#21201	2
#11192	2
#10858	2
#10774	2
C₄×#341	2