Subgroups — #369409

Order 512.

1430 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 456 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#35341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1998	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#21218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11173	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10755	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄×#344	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2935	—	2	4	no	—
14	D₄×M₁₆	—	2	4	no	—
15	#2932	—	2	2	no	—
16	#2931	—	2	2	no	—
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
20	#2879	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2861	—	2	2	no	—
24	#2642	—	2	1	no	—
25	#2641	—	2	1	no	—
26	#2591	C₄	1	8	yes	—
27	#2562	—	2	4	no	—
28	#2311	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1998	—	2	2	no	—
31	#1998	—	2	2	no	—
32	#1998	—	2	4	no	—
33	#1967	—	2	2	no	—
34	#1966	—	2	1	no	—
35	#1965	—	2	1	no	—
36	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
43	#568	—	2	8	no	—
44	#568	—	4	4	no	—
45	C₂×#131	—	2	4	no	—
46	C₂×#131	—	2	4	no	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#532	—	2	1	no	—
54	#532	—	2	1	no	—
55	#532	—	2	2	no	—
56	#532	—	2	1	no	—
57	#532	—	2	1	no	—
58	#532	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#125	—	2	2	no	—
62	C₂×#125	—	2	1	no	—
63	C₂×#125	—	2	1	no	—
64	C₂×#125	—	2	1	no	—
65	C₂×#125	—	2	1	no	—
66	C₂×#125	—	2	2	no	—
67	C₂×#125	—	2	1	no	—
68	C₂×#125	—	2	1	no	—
69	C₂×#125	—	2	2	no	—
70	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#436	—	2	8	no	—
78	#435	—	2	16	no	—
79	C₈×D₄	—	2	8	no	—
80	#423	—	2	2	no	—
81	#423	—	2	1	no	—
82	#423	—	2	1	no	—
83	#423	—	2	2	no	—
84	#423	D₄	1	2	yes	—
85	#423	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
88	#413	—	2	8	no	—
89	#413	—	4	4	no	—
90	C₂×#101	—	2	4	no	—
91	C₂×#100	—	2	4	no	—
92	#408	—	2	4	no	—
93	#408	—	2	4	no	—
94	#407	—	2	4	no	—
95	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
97	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
98	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
99	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
100	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
101	C₂×#97	—	2	1	no	—
102	C₂×#97	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
105	#400	—	2	8	no	—
106	#394	—	2	8	no	—
107	#391	—	2	4	no	—
108	#390	—	2	4	no	—
109	#388	—	2	16	no	—
110	#386	C₂×C₄	1	16	yes	—
111	#380	—	2	8	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
114	#376	—	2	1	no	—
115	C₄³	—	2	1	no	—
116	#344	—	2	4	no	—
117	#344	—	2	4	no	—
118	#344	—	4	4	no	—
119	#343	—	2	8	no	—
120	#343	—	2	4	no	—
121	#343	—	2	4	no	—
122	C₂×#41	—	2	2	no	—
123	C₂×#41	—	2	2	no	—
124	C₂×#41	—	2	2	no	—
125	C₂×#41	—	2	2	no	—
126	C₂×#41	—	2	4	no	—
127	C₂×#41	—	2	4	no	—
128	C₂×#41	—	2	4	no	—
129	C₂×#41	—	2	4	no	—
130	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	#131	—	4	16	no	—
139	#131	—	4	8	no	—
140	#131	—	4	8	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
160	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
164	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
174	#127	—	2	1	no	—
175	#127	—	2	1	no	—
176	#127	—	2	2	no	—
177	#125	—	4	2	no	—
178	#125	—	4	2	no	—
179	#125	—	4	1	no	—
180	#125	—	4	1	no	—
181	#125	—	4	1	no	—
182	#125	—	4	1	no	—
183	#125	—	4	2	no	—
184	#125	—	4	2	no	—
185	#125	—	4	2	no	—
186	#125	—	4	2	no	—
187	#124	—	2	2	no	—
188	#124	—	2	2	no	—
189	#124	—	2	4	no	—
190	#121	—	2	4	no	—
191	#121	—	2	4	no	—
192	#121	—	2	4	no	—
193	#121	—	2	4	no	—
194	C₄×D₄	—	2	4	no	—
195	C₄×D₄	—	2	4	no	—
196	C₄×D₄	—	2	4	no	—
197	C₄×D₄	—	2	4	no	—
198	#117	—	2	2	no	—
199	#117	—	2	2	no	—
200	#117	—	2	2	no	—
201	#117	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
219	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
230	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
234	#101	—	4	8	no	—
235	#100	—	4	8	no	—
236	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
237	#97	—	2	4	no	—
238	#97	—	4	1	no	—
239	#97	—	4	1	no	—
240	C₄×C₈	—	2	4	no	—
241	C₄×C₈	—	4	1	no	—
242	C₄×C₈	—	4	1	no	—
243	#95	—	2	4	no	—
244	#95	—	2	16	no	—
245	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
247	#41	—	4	2	no	—
248	#41	—	4	4	no	—
249	#41	—	4	2	no	—
250	#41	—	4	2	no	—
251	#41	—	4	2	no	—
252	#41	—	4	4	no	—
253	#41	—	4	4	no	—
254	#41	—	4	4	no	—
255	#41	—	4	4	no	—
256	#41	—	4	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	2	4	no	—
262	C₂×D₄	—	2	4	no	—
263	C₂×D₄	—	2	8	no	—
264	C₂×D₄	—	2	8	no	—
265	C₂×D₄	—	2	2	no	—
266	C₂×D₄	—	2	2	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	2	4	no	—
270	C₂×D₄	—	2	4	no	—
271	C₂×D₄	—	8	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
299	M₁₆	—	2	2	no	—
300	M₁₆	—	2	4	no	—
301	M₁₆	—	2	2	no	—
302	M₁₆	—	2	2	no	—
303	M₁₆	—	2	4	no	—
304	M₁₆	—	2	8	no	—
305	M₁₆	—	2	4	no	—
306	M₁₆	—	4	16	no	—
307	M₁₆	—	4	2	no	—
308	M₁₆	—	4	4	no	—
309	M₁₆	—	4	2	no	—
310	M₁₆	—	4	2	no	—
311	M₁₆	—	4	2	no	—
312	M₁₆	—	4	2	no	—
313	M₁₆	—	4	4	no	—
314	M₁₆	#124	1	4	yes	—
315	C₂×C₈	—	2	2	no	—
316	C₂×C₈	—	2	4	no	—
317	C₂×C₈	—	2	2	no	—
318	C₂×C₈	—	2	4	no	—
319	C₂×C₈	—	2	4	no	—
320	C₂×C₈	—	4	16	no	—
321	C₂×C₈	—	4	2	no	—
322	C₂×C₈	—	4	2	no	—
323	C₂×C₈	—	4	2	no	—
324	C₂×C₈	—	4	2	no	—
325	C₂×C₈	—	4	2	no	—
326	C₂×C₈	—	4	2	no	—
327	C₂×C₈	—	4	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
333	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
334	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
335	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
336	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
337	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
338	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
339	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
345	C₄²	—	4	2	no	—
346	C₄²	—	4	2	no	—
347	C₄²	—	8	4	no	—
348	C₄²	#120	1	2	yes	—
349	C₄²	#120	1	2	yes	—
350	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
351	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
352	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
353	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
354	C₄²	#121	1	2	yes	—
355	C₄²	#121	1	2	yes	—
356	C₄²	#123	1	2	yes	—
357	C₄²	#123	1	2	yes	—
358	C₂³	—	2	4	no	—
359	C₂³	—	2	8	no	—
360	C₂³	—	4	2	no	—
361	C₂³	—	4	8	no	—
362	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
366	C₂³	#520	1	2	yes	—
367	Q₈	—	4	4	no	—
368	Q₈	—	4	2	no	—
369	Q₈	—	4	2	no	—
370	D₄	—	4	8	no	—
371	D₄	—	4	4	no	—
372	D₄	—	4	8	no	—
373	D₄	—	4	4	no	—
374	D₄	—	4	4	no	—
375	D₄	—	4	2	no	—
376	D₄	—	4	2	no	—
377	D₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	2	8	no	—
379	C₂×C₄	—	2	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	4	8	no	—
389	C₂×C₄	—	4	8	no	—
390	C₂×C₄	—	4	8	no	—
391	C₂×C₄	—	4	4	no	—
392	C₂×C₄	—	4	4	no	—
393	C₂×C₄	—	8	4	no	—
394	C₂×C₄	—	8	4	no	—
395	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
407	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
408	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
409	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
410	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
411	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
412	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
413	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
414	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
415	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
416	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
417	C₈	—	2	4	no	—
418	C₈	—	4	4	no	—
419	C₈	—	4	2	no	—
420	C₈	—	4	4	no	—
421	C₈	—	8	2	no	—
422	C₂²	—	2	2	no	—
423	C₂²	—	2	2	no	—
424	C₂²	—	2	2	no	—
425	C₂²	—	4	2	no	—
426	C₂²	—	4	2	no	—
427	C₂²	—	4	8	no	—
428	C₂²	—	4	4	no	—
429	C₂²	—	8	8	no	—
430	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
431	C₂²	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
432	C₂²	#2326	1	1	yes	characteristic
433	C₂²	#2339	1	2	yes	—
434	C₂²	#2367	1	2	yes	—
435	C₄	—	2	2	no	—
436	C₄	—	2	2	no	—
437	C₄	—	2	2	no	—
438	C₄	—	2	2	no	—
439	C₄	—	4	4	no	—
440	C₄	—	8	4	no	—
441	C₄	—	8	4	no	—
442	C₄	#2427	1	2	yes	—
443	C₄	#2432	1	1	yes	characteristic
444	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
445	C₄	#2447	1	2	yes	—
446	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
447	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
448	C₂	—	2	2	no	—
449	C₂	—	2	1	no	—
450	C₂	—	2	2	no	—
451	C₂	—	2	1	no	—
452	C₂	—	8	4	no	—
453	C₂	#14027	1	1	yes	characteristic
454	C₂	#21017	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#386
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1998	C₂	semidirect
4. C₂×#1998	C₂	semidirect
6. #11173	C₂	semidirect
7. #10856	C₂	semidirect
8. #10755	C₂	semidirect
9. C₄×#344	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60144	2
#35341	2
C₂×#1998	2
#21218	2
#11173	2
#10856	2
#10755	2
C₄×#344	2