Subgroups — #369523

Order 512.

900 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21157	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21038	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20454	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11366	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11210	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10891	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10869	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10869	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2316	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
22	#2274	C₂²	1	2	yes	—
23	#1944	—	2	2	no	—
24	#1941	—	2	2	no	—
25	#1920	—	2	4	no	—
26	#1919	—	2	4	no	—
27	#1844	C₄	1	8	yes	complemented
28	#1776	—	2	2	no	—
29	C₄×#106	—	2	2	no	—
30	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1736	C₂²	1	2	yes	—
34	#1736	C₂²	1	2	yes	—
35	#1736	C₂²	1	2	yes	—
36	#1736	C₂²	1	2	yes	—
37	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1729	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#108	—	2	2	no	—
55	C₂×#108	—	2	2	no	—
56	C₂×#108	—	2	2	no	—
57	#427	—	2	2	no	—
58	#427	—	2	2	no	—
59	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×#106	—	2	2	no	—
61	C₂×#106	—	2	2	no	—
62	C₂×#106	—	2	1	no	—
63	C₂×#106	—	2	1	no	—
64	C₂×#106	—	2	1	no	—
65	C₂×#106	—	2	1	no	—
66	C₂×#106	—	2	4	no	—
67	C₂×#106	—	2	2	no	—
68	C₂×#106	—	2	2	no	—
69	C₂×#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
73	#405	—	2	2	no	—
74	#405	—	2	2	no	—
75	#405	—	2	2	no	—
76	#405	Q₈	1	4	yes	—
77	C₂×#97	—	2	1	no	—
78	C₂×#97	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	#389	—	2	4	no	—
85	#389	—	2	4	no	—
86	#384	—	4	2	no	—
87	#384	C₂×C₄	1	8	yes	—
88	#380	—	4	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
92	#343	—	4	2	no	—
93	#343	—	4	2	no	—
94	#341	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	4	no	—
96	#340	—	2	4	no	—
97	#340	—	2	4	no	—
98	#340	—	2	4	no	—
99	#340	D₄	1	4	yes	—
100	#339	—	2	2	no	—
101	#339	—	2	4	no	—
102	#339	Q₈	1	4	yes	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
145	#117	—	2	1	no	—
146	#117	—	2	1	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	1	no	—
149	#117	—	2	1	no	—
150	#117	—	2	1	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	2	1	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
156	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
188	#108	—	4	4	no	—
189	#107	—	2	4	no	—
190	#106	—	2	8	no	—
191	#106	—	2	8	no	—
192	#106	—	2	4	no	—
193	#106	—	2	4	no	—
194	#106	—	2	4	no	—
195	#106	—	2	4	no	—
196	#106	—	2	4	no	—
197	#97	—	2	4	no	—
198	#97	—	4	2	no	—
199	C₄×C₈	—	2	8	no	—
200	C₄×C₈	—	2	4	no	—
201	C₄×C₈	—	4	2	no	—
202	#95	—	4	4	no	—
203	#95	—	4	4	no	—
204	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
234	M₁₆	—	2	2	no	—
235	M₁₆	—	2	2	no	—
236	M₁₆	—	2	2	no	—
237	M₁₆	—	2	2	no	—
238	M₁₆	—	4	1	no	—
239	M₁₆	—	4	1	no	—
240	M₁₆	—	4	1	no	—
241	M₁₆	—	4	1	no	—
242	M₁₆	—	4	2	no	—
243	M₁₆	—	4	2	no	—
244	M₁₆	—	4	2	no	—
245	M₁₆	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	1	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	#125	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	#126	1	4	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
286	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
287	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	4	1	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₄²	—	4	1	no	—
303	C₄²	—	16	4	no	—
304	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	#542	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	#544	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	#553	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	#559	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	16	2	no	—
331	C₂×C₄	—	16	2	no	—
332	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#542	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#552	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#552	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
360	C₈	—	2	4	no	—
361	C₈	—	4	2	no	—
362	C₈	—	4	2	no	—
363	C₈	—	8	2	no	—
364	C₈	#387	1	4	yes	—
365	C₈	#387	1	4	yes	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	#2331	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2345	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#2422	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#2440	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#2511	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#2570	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#3291	1	4	yes	—
380	C₄	—	2	8	no	—
381	C₄	—	4	4	no	—
382	C₄	—	8	4	no	—
383	C₄	—	8	4	no	—
384	C₄	—	8	4	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
387	C₄	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#2344	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#2365	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#2423	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#2441	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#2512	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#2552	1	1	yes	characteristic
394	C₂	—	2	1	no	—
395	C₂	—	2	1	no	—
396	C₂	—	2	1	no	—
397	C₂	—	2	1	no	—
398	C₂	#14029	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#23198	1	2	yes	—
400	C₂	#25051	1	2	yes	—
401	C₂	#26081	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	H(5,𝔽₂)
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
27. #1844	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21157	2
#21038	2
C₂×#1844	2
#20454	2
#11366	2
#11210	2
#10891	2
#10869	2
#10859	2
#10706	2