Subgroups — #369529

Order 512.

818 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 433 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21043	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20446	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11364	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11212	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10893	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10871	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10871	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2905	C₂²	1	2	yes	—
18	#2873	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	2	yes	—
23	#1946	—	2	2	no	—
24	#1945	—	2	2	no	—
25	#1922	—	2	8	no	—
26	#1846	C₄	1	2	yes	complemented
27	#1846	C₄	1	2	yes	complemented
28	#1845	C₄	1	2	yes	complemented
29	#1844	C₄	1	2	yes	complemented
30	#1773	—	2	2	no	—
31	#1772	—	2	2	no	—
32	#1740	C₂²	1	2	yes	—
33	#1740	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1733	C₂²	1	2	yes	—
37	#1733	C₂²	1	2	yes	—
38	#1733	C₂²	1	2	yes	—
39	#1733	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1729	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#108	—	2	2	no	—
56	C₂×#108	—	2	2	no	—
57	C₂×#108	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×#108	D₄	1	2	yes	—
59	#427	—	2	4	no	—
60	#427	—	2	1	no	—
61	#427	—	2	1	no	—
62	#427	—	2	1	no	—
63	#427	—	2	1	no	—
64	#427	—	2	4	no	—
65	#427	—	2	1	no	—
66	#427	—	2	1	no	—
67	#427	—	2	1	no	—
68	#427	—	2	1	no	—
69	#427	—	2	2	no	—
70	#427	—	2	2	no	—
71	C₂×#107	—	2	1	no	—
72	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×#106	—	2	1	no	—
76	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#424	—	2	4	no	—
80	#424	—	2	4	no	—
81	#423	—	4	2	no	—
82	#405	—	2	2	no	—
83	#405	—	2	4	no	—
84	#405	—	2	4	no	—
85	#405	—	2	2	no	—
86	#405	—	2	2	no	—
87	#405	Q₈	1	4	yes	—
88	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
89	C₂×#97	—	2	1	no	—
90	C₂×#97	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
101	#380	—	4	2	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
103	#342	—	4	2	no	—
104	#342	—	4	2	no	—
105	#341	D₄	1	4	yes	—
106	#340	—	2	2	no	—
107	#339	—	2	4	no	—
108	#339	—	2	4	no	—
109	#339	—	2	4	no	—
110	#339	—	2	4	no	—
111	#339	—	2	2	no	—
112	#339	—	2	4	no	—
113	#339	Q₈	1	4	yes	—
114	#336	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
134	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
156	#117	—	2	1	no	—
157	#117	—	2	1	no	—
158	#117	—	2	1	no	—
159	#117	—	2	1	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	1	no	—
165	#117	—	2	1	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
175	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
199	#108	—	2	4	no	—
200	#108	—	2	4	no	—
201	#107	—	2	8	no	—
202	#107	—	2	2	no	—
203	#107	—	2	2	no	—
204	#107	—	2	2	no	—
205	#107	—	2	2	no	—
206	#107	—	4	2	no	—
207	#106	—	2	8	no	—
208	#106	—	2	2	no	—
209	#106	—	2	2	no	—
210	#106	—	2	2	no	—
211	#106	—	2	2	no	—
212	#106	—	4	2	no	—
213	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
214	#97	—	2	4	no	—
215	#97	—	4	4	no	—
216	#97	—	4	2	no	—
217	C₄×C₈	—	2	2	no	—
218	C₄×C₈	—	2	2	no	—
219	C₄×C₈	—	2	2	no	—
220	C₄×C₈	—	2	2	no	—
221	C₄×C₈	—	2	4	no	—
222	C₄×C₈	—	4	4	no	—
223	C₄×C₈	—	4	2	no	—
224	#95	—	4	4	no	—
225	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
250	M₁₆	—	2	2	no	—
251	M₁₆	—	2	2	no	—
252	M₁₆	—	2	2	no	—
253	M₁₆	—	2	4	no	—
254	M₁₆	—	2	2	no	—
255	M₁₆	—	2	2	no	—
256	M₁₆	—	2	4	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	1	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	M₁₆	—	4	1	no	—
261	M₁₆	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	#125	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	#125	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄²	—	2	1	no	—
319	C₄²	—	2	1	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	4	1	no	—
325	C₄²	—	4	2	no	—
326	C₄²	—	4	2	no	—
327	C₄²	—	4	1	no	—
328	C₄²	—	4	2	no	—
329	C₄²	—	4	2	no	—
330	C₄²	—	4	2	no	—
331	C₄²	—	4	2	no	—
332	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
333	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
336	C₂³	#542	1	1	yes	characteristic
337	C₂³	#544	1	1	yes	characteristic
338	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	#553	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	—	8	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#542	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#552	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#552	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
386	C₈	—	2	2	no	—
387	C₈	—	2	2	no	—
388	C₈	—	2	4	no	—
389	C₈	—	4	4	no	—
390	C₈	—	4	2	no	—
391	C₈	#387	1	2	yes	—
392	C₈	#387	1	2	yes	—
393	C₈	#387	1	2	yes	—
394	C₈	#387	1	2	yes	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	2	2	no	—
398	C₂²	—	4	1	no	—
399	C₂²	—	4	1	no	—
400	C₂²	—	4	1	no	—
401	C₂²	—	4	1	no	—
402	C₂²	#2331	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	#2345	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#2423	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#2441	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#2512	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	#2552	1	1	yes	characteristic
409	C₄	—	2	4	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	8	2	no	—
412	C₄	—	8	2	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	—	8	4	no	—
415	C₄	—	16	2	no	—
416	C₄	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
417	C₄	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#2344	1	1	yes	characteristic
419	C₄	#2365	1	1	yes	characteristic
420	C₄	#2422	1	1	yes	characteristic
421	C₄	#2440	1	1	yes	characteristic
422	C₄	#2511	1	1	yes	characteristic
423	C₄	#2570	1	1	yes	characteristic
424	C₂	—	2	1	no	—
425	C₂	—	2	1	no	—
426	C₂	—	2	1	no	—
427	C₂	—	2	1	no	—
428	C₂	—	2	1	no	—
429	C₂	—	2	1	no	—
430	C₂	#14029	1	1	yes	characteristic
431	C₂	#23196	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2366
prime radical	C₂⁴	H(5,𝔽₂)
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
26. #1846	C₄	semidirect
27. #1846	C₄	semidirect
28. #1845	C₄	semidirect
29. #1844	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21163	2
#21043	2
#20797	2
#20446	2
#11364	2
#11212	2
#10893	2
#10871	2
#10859	2
#10706	2