Subgroups — #36957

Order 256.

1293 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#538	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2854	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2715	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2712	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2676	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2672	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2626	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2617	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2412	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2410	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2315	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#538	—	2	8	no	—
19	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂×#124	—	2	8	no	—
21	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#399	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#394	C₂²	1	4	yes	—
47	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#393	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#392	C₂²	1	4	yes	—
53	#392	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#386	C₂²	1	2	yes	—
63	#386	C₂²	1	2	yes	—
64	#386	C₂²	1	4	yes	—
65	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#385	C₂²	1	2	yes	—
68	#385	C₂²	1	2	yes	—
69	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
71	#381	C₂²	1	2	yes	—
72	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	#380	C₂²	1	2	yes	—
75	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
76	#379	C₂²	1	2	yes	—
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
80	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
81	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#126	—	2	8	no	—
99	#124	—	2	16	no	—
100	#124	—	2	16	no	—
101	#124	—	2	8	no	—
102	#123	—	2	8	no	—
103	#123	—	4	4	no	—
104	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
106	#121	—	2	4	no	—
107	#121	—	2	8	no	—
108	#121	—	4	8	no	—
109	#120	—	2	8	no	—
110	#120	—	4	4	no	—
111	C₄×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	#95	C₂³	1	2	yes	—
153	#95	C₂³	1	2	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	#95	C₂³	1	4	yes	—
157	#95	C₂³	1	4	yes	—
158	#95	C₂³	1	4	yes	—
159	#95	C₂³	1	4	yes	—
160	C₂⁴	—	2	2	no	—
161	C₂⁴	—	2	2	no	—
162	C₂⁴	—	2	2	no	—
163	C₂⁴	—	2	2	no	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	4	2	no	—
166	C₂⁴	—	4	2	no	—
167	C₂⁴	—	4	2	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	16	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
252	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	4	4	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	8	4	no	—
279	C₂³	—	8	4	no	—
280	C₂³	—	8	4	no	—
281	C₂³	—	8	4	no	—
282	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
283	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
285	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	4	16	no	—
288	Q₈	—	8	2	no	—
289	D₄	—	4	16	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	8	2	no	—
292	D₄	—	8	4	no	—
293	D₄	—	8	4	no	—
294	D₄	—	8	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	8	no	—
325	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	8	8	no	—
349	C₂²	—	8	8	no	—
350	C₂²	#537	1	4	yes	—
351	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#585	1	2	yes	—
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₂	—	2	4	no	—
368	C₂	—	4	4	no	—
369	C₂	—	8	2	no	—
370	C₂	—	8	2	no	—
371	C₂	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#3558	1	2	yes	—
375	C₂	#3561	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#538	C₂	semidirect
2. C₂²×#124	C₂	semidirect
3. #2855	C₂	semidirect
4. #2854	C₂	semidirect
5. #2715	C₂	semidirect
6. #2712	C₂	semidirect
7. #2676	C₂	semidirect
8. #2672	C₂	semidirect
9. #2626	C₂	semidirect
10. #2617	C₂	semidirect
11. #2534	C₂	semidirect
12. #2412	C₂	semidirect
13. #2410	C₂	semidirect
14. #2409	C₂	semidirect
15. #2315	C₂	semidirect
19. C₂×#126	C₂²	semidirect
23. C₂×#124	C₂²	semidirect
25. C₂×#123	C₂²	semidirect
27. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
30. C₂×#121	C₂²	semidirect
40. #399	C₂²	semidirect
41. #397	C₂²	semidirect
42. #397	C₂²	semidirect
43. #396	C₂²	semidirect
44. #396	C₂²	semidirect
45. #395	C₂²	semidirect
47. #394	C₂²	semidirect
48. #394	C₂²	semidirect
49. #394	C₂²	semidirect
50. #393	C₂²	semidirect
51. #393	C₂²	semidirect
53. #392	C₂²	semidirect
54. #391	C₂²	semidirect
55. #391	C₂²	semidirect
56. #390	C₂²	semidirect
57. #389	C₂²	semidirect
58. #389	C₂²	semidirect
59. #388	C₂²	semidirect
60. #388	C₂²	semidirect
61. #387	C₂²	semidirect
65. #386	C₂²	semidirect
66. #386	C₂²	semidirect
69. #385	C₂²	semidirect
70. #385	C₂²	semidirect
75. #380	C₂²	semidirect
126. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#538	2
C₂²×#124	2
#2855	2
#2854	2
#2715	2
#2712	2
#2676	2
#2672	2
#2626	2
#2617	2
#2534	2
#2412	2
#2410	2
#2409	2
#2315	2