Subgroups — #36971

Order 256.

1075 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#539	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#126	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2854	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2727	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2725	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2705	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2702	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2626	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2617	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#2534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2487	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2413	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2411	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2316	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#539	—	2	8	no	—
17	C₂×#126	—	2	8	no	—
18	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#399	C₂²	1	2	yes	—
40	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#397	C₂²	1	2	yes	—
43	#396	C₂²	1	4	yes	—
44	#396	C₂²	1	4	yes	—
45	#396	C₂²	1	4	yes	—
46	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#394	C₂²	1	4	yes	—
48	#394	C₂²	1	4	yes	—
49	#394	C₂²	1	4	yes	—
50	#393	C₂²	1	2	yes	—
51	#392	C₂²	1	2	yes	—
52	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#390	C₂²	1	4	yes	—
54	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#388	C₂²	1	4	yes	—
62	#388	C₂²	1	4	yes	—
63	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#386	C₂²	1	2	yes	—
67	#386	C₂²	1	2	yes	—
68	#386	C₂²	1	4	yes	—
69	#385	C₂²	1	2	yes	—
70	#385	C₂²	1	2	yes	—
71	#381	C₂²	1	2	yes	—
72	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	#380	C₂²	1	2	yes	—
75	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
76	#379	C₂²	1	2	yes	—
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#126	—	2	16	no	—
90	#126	—	2	16	no	—
91	#126	—	2	8	no	—
92	#125	—	2	8	no	—
93	#123	—	2	8	no	—
94	#123	—	2	8	no	—
95	#123	—	4	4	no	—
96	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
97	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
98	#121	—	2	4	no	—
99	#120	—	4	4	no	—
100	C₄×D₄	—	2	8	no	—
101	#117	—	4	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
147	#95	C₂³	1	4	yes	—
148	#95	C₂³	1	2	yes	—
149	#95	C₂³	1	2	yes	—
150	#95	C₂³	1	4	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	#95	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	C₂⁴	—	2	2	no	—
157	C₂⁴	—	2	2	no	—
158	C₂⁴	—	2	2	no	—
159	C₂⁴	—	4	2	no	—
160	C₂⁴	—	4	2	no	—
161	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
162	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
165	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	2	2	no	—
170	C₂×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂×D₄	—	4	2	no	—
172	C₂×D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
218	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄²	—	2	4	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	4	4	no	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	4	4	no	—
253	C₂³	—	4	4	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	8	4	no	—
256	C₂³	—	8	4	no	—
257	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
259	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
261	Q₈	—	8	2	no	—
262	D₄	—	4	8	no	—
263	D₄	—	8	2	no	—
264	D₄	—	8	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	4	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	8	8	no	—
317	C₂²	#537	1	4	yes	—
318	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#585	1	2	yes	—
322	C₂²	#585	1	2	yes	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	4	2	no	—
328	C₄	—	4	2	no	—
329	C₄	—	4	2	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	4	2	no	—
332	C₄	—	4	2	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	4	4	no	—
335	C₂	—	2	4	no	—
336	C₂	—	8	2	no	—
337	C₂	—	8	2	no	—
338	C₂	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#3487	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#3560	1	2	yes	—
342	C₂	#3564	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2617	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#539	C₂	semidirect
2. C₂²×#126	C₂	semidirect
3. #2855	C₂	semidirect
4. #2854	C₂	semidirect
5. #2727	C₂	semidirect
6. #2725	C₂	semidirect
7. #2705	C₂	semidirect
8. #2702	C₂	semidirect
9. #2626	C₂	semidirect
11. #2534	C₂	semidirect
12. #2487	C₂	semidirect
13. #2413	C₂	semidirect
14. #2411	C₂	semidirect
15. #2316	C₂	semidirect
20. C₂×#126	C₂²	semidirect
21. C₂×#125	C₂²	semidirect
24. C₂×#123	C₂²	semidirect
26. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
38. #400	C₂²	semidirect
40. #399	C₂²	semidirect
41. #398	C₂²	semidirect
46. #396	C₂²	semidirect
52. #391	C₂²	semidirect
54. #390	C₂²	semidirect
55. #389	C₂²	semidirect
56. #389	C₂²	semidirect
57. #389	C₂²	semidirect
58. #389	C₂²	semidirect
59. #389	C₂²	semidirect
60. #389	C₂²	semidirect
63. #388	C₂²	semidirect
64. #388	C₂²	semidirect
65. #387	C₂²	semidirect
75. #380	C₂²	semidirect
104. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#539	2
C₂²×#126	2
#2855	2
#2854	2
#2727	2
#2725	2
#2705	2
#2702	2
#2626	2
#2617	2
#2534	2
#2487	2
#2413	2
#2411	2
#2316	2