Subgroups — #369998

Order 512.

996 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20351	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11375	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11306	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10823	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10746	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#10746	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1858	C₄	1	8	yes	complemented
23	#1753	—	2	2	no	—
24	#1752	—	2	2	no	—
25	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
27	#1738	—	2	2	no	—
28	#1738	C₂²	1	2	yes	—
29	#1738	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#341	—	2	2	no	—
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
36	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1728	C₂²	1	2	yes	—
39	#1728	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#568	—	2	2	no	—
42	#568	—	2	4	no	—
43	#568	—	2	2	no	—
44	#568	—	2	2	no	—
45	#568	—	4	2	no	—
46	#568	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#131	—	2	2	no	—
48	C₂×#131	—	2	2	no	—
49	C₂×#131	—	2	4	no	—
50	C₂×#131	—	4	2	no	—
51	C₂×#131	—	4	2	no	—
52	C₂×#131	—	4	2	no	—
53	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#430	—	4	2	no	—
68	#430	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₂×#108	—	4	2	no	—
70	#413	—	2	2	no	—
71	#413	—	2	2	no	—
72	#413	—	2	2	no	—
73	#413	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×#101	—	2	1	no	—
75	C₂×#101	—	2	1	no	—
76	C₂×#100	—	2	1	no	—
77	C₂×#100	—	2	1	no	—
78	#408	—	2	2	no	—
79	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
81	#405	—	4	2	no	—
82	C₂×#97	—	2	1	no	—
83	C₂×#97	—	2	1	no	—
84	C₂×#97	—	2	1	no	—
85	C₂×#97	—	2	4	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
87	#391	—	2	1	no	—
88	#390	—	2	1	no	—
89	#386	Q₈	1	4	yes	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
91	#344	—	2	4	no	—
92	#344	—	4	2	no	—
93	#341	—	2	4	no	—
94	#341	—	2	2	no	—
95	#341	—	2	4	no	—
96	#341	—	2	2	no	—
97	#341	—	2	4	no	—
98	#341	—	4	2	no	—
99	#341	C₂×C₄	1	8	yes	—
100	#338	—	4	2	no	—
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	4	2	no	—
104	#336	—	4	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
111	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
112	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
113	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	#131	—	4	8	no	—
120	#131	—	4	8	no	—
121	#131	—	4	8	no	—
122	#131	—	4	8	no	—
123	#131	—	4	8	no	—
124	#131	—	4	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
158	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
159	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
160	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
161	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
162	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
166	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
188	#117	—	2	2	no	—
189	#117	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	#108	—	4	8	no	—
199	#101	—	2	4	no	—
200	#101	—	4	2	no	—
201	#100	—	2	4	no	—
202	#100	—	4	2	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
204	#97	—	4	2	no	—
205	#97	—	4	2	no	—
206	#97	—	4	2	no	—
207	C₄×C₈	—	4	2	no	—
208	#95	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
210	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	2	4	no	—
212	#41	—	2	4	no	—
213	#41	—	2	4	no	—
214	#41	—	2	4	no	—
215	#41	—	2	4	no	—
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	#117	1	2	yes	—
222	C₂×Q₈	#126	1	2	yes	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	#117	1	2	yes	—
228	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
229	C₂×D₄	#125	1	4	yes	—
230	C₂×D₄	#126	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
239	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
252	M₁₆	—	2	4	no	—
253	M₁₆	—	2	4	no	—
254	M₁₆	—	2	4	no	—
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	2	4	no	—
257	M₁₆	—	2	4	no	—
258	M₁₆	—	2	4	no	—
259	M₁₆	—	4	8	no	—
260	M₁₆	—	4	8	no	—
261	M₁₆	—	4	8	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	M₁₆	—	4	2	no	—
264	M₁₆	—	4	2	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	2	no	—
267	M₁₆	—	4	2	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	2	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	2	no	—
273	M₁₆	—	4	2	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	1	no	—
276	C₂×C₈	—	2	1	no	—
277	C₂×C₈	—	2	1	no	—
278	C₂×C₈	—	2	1	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	4	8	no	—
291	C₂×C₈	—	4	8	no	—
292	C₂×C₈	—	4	8	no	—
293	C₂×C₈	—	4	1	no	—
294	C₂×C₈	—	4	1	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	1	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	1	no	—
300	C₂×C₈	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
309	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
312	C₄²	—	4	1	no	—
313	C₄²	—	4	1	no	—
314	C₄²	—	4	1	no	—
315	C₄²	—	4	1	no	—
316	C₄²	—	4	2	no	—
317	C₂³	—	2	2	no	—
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	—	4	4	no	—
321	C₂³	#387	1	4	yes	—
322	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	#554	1	2	yes	—
326	C₂³	#554	1	2	yes	—
327	Q₈	—	2	4	no	—
328	Q₈	—	2	4	no	—
329	D₄	—	2	8	no	—
330	D₄	—	2	8	no	—
331	D₄	—	2	4	no	—
332	D₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	#387	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
364	C₈	—	2	2	no	—
365	C₈	—	2	2	no	—
366	C₈	—	4	4	no	—
367	C₈	—	4	2	no	—
368	C₈	—	4	4	no	—
369	C₈	—	4	4	no	—
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	—	4	2	no	—
372	C₈	—	8	2	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	4	1	no	—
377	C₂²	—	4	1	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	—	4	4	no	—
380	C₂²	—	4	4	no	—
381	C₂²	—	8	2	no	—
382	C₂²	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2368	1	2	yes	—
384	C₂²	#2487	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#2505	1	2	yes	—
386	C₂²	#2579	1	1	yes	characteristic
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	8	2	no	—
389	C₄	—	8	2	no	—
390	C₄	C₄×#123	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#2321	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#2353	1	2	yes	—
393	C₄	#2482	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2483	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#2510	1	2	yes	—
396	C₂	—	2	1	no	—
397	C₂	—	2	1	no	—
398	C₂	—	2	2	no	—
399	C₂	—	2	2	no	—
400	C₂	—	4	4	no	—
401	C₂	#14040	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#27692	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#535
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2487
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #11375	C₂	semidirect
5. #11306	C₂	semidirect
6. #10898	C₂	semidirect
7. #10823	C₂	semidirect
22. #1858	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1858	2
#20384	2
#20351	2
#11375	2
#11306	2
#10898	2
#10823	2
#10760	2
#10753	2
#10746	2