Subgroups — #370004

Order 512.

1022 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 419 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20375	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11369	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11320	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10883	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10826	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10758	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#10747	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1868	C₄	1	8	yes	complemented
23	#1750	—	2	2	no	—
24	#1749	—	2	2	no	—
25	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
26	#1742	C₂²	1	2	yes	—
27	#1738	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
29	#1735	C₂²	1	2	yes	—
30	#1733	—	2	2	no	—
31	#1733	C₂²	1	2	yes	—
32	#1733	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	—	2	2	no	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
37	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1729	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#568	—	2	2	no	—
42	#568	—	4	2	no	—
43	#568	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#131	—	4	2	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#520	—	2	4	no	—
53	#519	—	2	1	no	—
54	#518	—	2	2	no	—
55	#518	—	2	1	no	—
56	C₄×#41	—	2	4	no	—
57	C₄×#41	—	4	2	no	—
58	C₄×#41	—	4	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂×#117	—	2	2	no	—
63	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#424	—	4	2	no	—
70	#424	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
72	#413	—	2	2	no	—
73	#413	—	2	2	no	—
74	C₂×#101	—	2	1	no	—
75	C₂×#100	—	2	1	no	—
76	#410	—	2	2	no	—
77	#410	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×#99	—	2	2	no	—
79	#408	—	2	2	no	—
80	#408	—	2	2	no	—
81	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#408	Q₈	1	4	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
86	C₂×#97	—	2	1	no	—
87	C₂×#97	—	2	1	no	—
88	C₂×#97	—	2	1	no	—
89	C₂×#97	—	4	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	#344	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
92	#343	—	2	4	no	—
93	#341	—	4	2	no	—
94	#341	—	4	2	no	—
95	#340	—	2	4	no	—
96	#339	—	2	2	no	—
97	#339	—	2	4	no	—
98	#339	—	2	2	no	—
99	#339	—	2	4	no	—
100	#339	—	4	2	no	—
101	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	#336	—	4	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
112	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
113	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	#131	—	4	8	no	—
121	#131	—	4	8	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
160	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
162	C₄×D₄	—	4	4	no	—
163	C₄×D₄	—	4	4	no	—
164	C₄×D₄	—	4	8	no	—
165	C₄×D₄	—	4	8	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	4	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	4	2	no	—
178	#117	—	4	2	no	—
179	#117	—	4	2	no	—
180	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
203	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
204	#101	—	4	2	no	—
205	#100	—	4	2	no	—
206	#99	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
209	#97	—	4	2	no	—
210	#97	—	4	2	no	—
211	#97	—	4	2	no	—
212	C₄×C₈	—	4	2	no	—
213	C₂⁴	#123	1	2	yes	—
214	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	#41	—	2	4	no	—
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	2	4	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
226	C₂×Q₈	#126	1	2	yes	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
232	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
233	C₂×D₄	#125	1	4	yes	—
234	C₂×D₄	#126	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
262	M₁₆	—	2	4	no	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	4	8	no	—
267	M₁₆	—	4	2	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	2	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	2	no	—
273	M₁₆	—	4	2	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	8	no	—
283	C₂×C₈	—	4	1	no	—
284	C₂×C₈	—	4	1	no	—
285	C₂×C₈	—	4	1	no	—
286	C₂×C₈	—	4	1	no	—
287	C₂×C₈	—	4	1	no	—
288	C₂×C₈	—	4	1	no	—
289	C₂×C₈	—	4	1	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	—	4	1	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	2	1	no	—
313	C₄²	—	2	1	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	2	2	no	—
317	C₄²	—	2	2	no	—
318	C₄²	—	4	4	no	—
319	C₄²	—	4	4	no	—
320	C₄²	—	4	2	no	—
321	C₄²	—	4	2	no	—
322	C₄²	—	4	2	no	—
323	C₄²	#123	1	2	yes	—
324	C₄²	#123	1	2	yes	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	4	2	no	—
328	C₂³	—	4	4	no	—
329	C₂³	#387	1	4	yes	—
330	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	#551	1	2	yes	—
334	C₂³	#551	1	2	yes	—
335	Q₈	—	2	4	no	—
336	Q₈	—	2	4	no	—
337	D₄	—	2	8	no	—
338	D₄	—	2	8	no	—
339	D₄	—	2	4	no	—
340	D₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	8	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	16	4	no	—
360	C₂×C₄	#387	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
379	C₈	—	4	2	no	—
380	C₈	—	4	4	no	—
381	C₈	—	4	2	no	—
382	C₈	—	4	2	no	—
383	C₈	—	4	2	no	—
384	C₈	—	8	2	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	2	4	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	4	1	no	—
390	C₂²	—	4	1	no	—
391	C₂²	—	4	4	no	—
392	C₂²	—	4	4	no	—
393	C₂²	—	8	2	no	—
394	C₂²	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#2353	1	2	yes	—
396	C₂²	#2482	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#2483	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#2505	1	2	yes	—
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	4	2	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	8	2	no	—
403	C₄	—	8	4	no	—
404	C₄	—	8	4	no	—
405	C₄	C₄×#123	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#2321	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#2368	1	2	yes	—
408	C₄	#2487	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#2510	1	2	yes	—
410	C₄	#2579	1	1	yes	characteristic
411	C₂	—	2	1	no	—
412	C₂	—	2	2	no	—
413	C₂	—	2	1	no	—
414	C₂	—	2	2	no	—
415	C₂	—	4	4	no	—
416	C₂	#14040	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#27599	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#535
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2482
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #11369	C₂	semidirect
5. #11320	C₂	semidirect
6. #10883	C₂	semidirect
7. #10826	C₂	semidirect
22. #1868	C₄	semidirect
70. #424	C₂×C₄	semidirect
91. #344	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1868	2
#20375	2
#20343	2
#11369	2
#11320	2
#10883	2
#10826	2
#10758	2
#10753	2
#10752	2
#10747	2