Subgroups — #370365

Order 512.

902 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11221	C₂	1	4	yes	maximal
5	#10909	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1939	—	2	2	no	—
21	#1939	—	2	2	no	—
22	#1846	C₄	1	4	yes	complemented
23	#1845	C₄	1	2	yes	complemented
24	#1844	C₄	1	2	yes	complemented
25	#1770	—	2	2	no	—
26	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
27	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
30	#1729	C₂²	1	2	yes	—
31	#1729	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#427	—	4	4	no	—
45	#427	—	4	4	no	—
46	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	#424	—	4	4	no	—
49	#423	—	2	2	no	—
50	#423	—	2	2	no	—
51	#423	—	2	2	no	—
52	#423	Q₈	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
56	#405	—	4	4	no	—
57	C₂×#97	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
68	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#380	—	2	2	no	—
73	#380	—	2	2	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₄³	—	2	2	no	—
77	C₄³	—	2	2	no	—
78	#341	—	2	8	no	—
79	#339	—	4	4	no	—
80	#339	—	4	4	no	—
81	#336	—	2	2	no	—
82	#336	—	2	2	no	—
83	#336	—	2	4	no	—
84	#336	—	2	4	no	—
85	#336	Q₈	1	8	yes	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
118	#117	—	2	4	no	—
119	#117	—	2	4	no	—
120	#117	—	2	4	no	—
121	#117	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
148	#107	—	4	8	no	—
149	#106	—	4	8	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
151	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
152	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
153	#97	—	4	4	no	—
154	C₄×C₈	—	2	2	no	—
155	C₄×C₈	—	2	2	no	—
156	C₄×C₈	—	2	4	no	—
157	C₄×C₈	—	2	4	no	—
158	C₄×C₈	—	2	4	no	—
159	C₄×C₈	—	4	4	no	—
160	#95	—	2	4	no	—
161	#95	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	#126	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
186	M₁₆	—	2	8	no	—
187	M₁₆	—	4	4	no	—
188	M₁₆	—	4	4	no	—
189	M₁₆	—	4	4	no	—
190	C₂×C₈	—	2	2	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	1	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	1	no	—
197	C₂×C₈	—	2	1	no	—
198	C₂×C₈	—	2	4	no	—
199	C₂×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	2	4	no	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	4	2	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	2	no	—
212	C₂×C₈	—	4	2	no	—
213	C₂×C₈	—	4	2	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
216	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
217	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
219	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₄²	—	2	4	no	—
228	C₄²	—	2	4	no	—
229	C₄²	—	4	16	no	—
230	C₄²	—	4	2	no	—
231	C₄²	—	4	2	no	—
232	C₄²	—	4	2	no	—
233	C₄²	—	4	2	no	—
234	C₄²	—	4	2	no	—
235	C₄²	—	4	2	no	—
236	C₄²	#117	1	2	yes	—
237	C₄²	#117	1	2	yes	—
238	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
239	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
240	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
241	C₄²	#123	1	4	yes	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	#533	1	2	yes	—
248	C₂³	#540	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂×C₄	—	4	8	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	#387	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	#387	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
286	C₈	—	2	4	no	—
287	C₈	—	2	4	no	—
288	C₈	—	2	2	no	—
289	C₈	—	2	2	no	—
290	C₈	—	4	4	no	—
291	C₈	—	4	2	no	—
292	C₈	—	8	2	no	—
293	C₂²	—	2	4	no	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	#2497	1	2	yes	—
302	C₂²	#2507	1	2	yes	—
303	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
304	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	4	8	no	—
307	C₄	—	8	4	no	—
308	C₄	—	8	4	no	—
309	C₄	#1922	1	8	yes	—
310	C₄	#2345	1	2	yes	—
311	C₄	#2369	1	2	yes	—
312	C₄	#2500	1	1	yes	characteristic
313	C₄	#2502	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#2566	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
316	C₂	—	2	2	no	—
317	C₂	—	2	2	no	—
318	C₂	#14048	1	1	yes	characteristic
319	C₂	C₂×#1922	1	2	yes	—
320	C₂	#21732	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#21734	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#22280	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
22. #1846	C₄	semidirect
23. #1845	C₄	semidirect
24. #1844	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21143	2
#20797	2
#20437	2
#11221	2
#10909	2
#10844	2
#10839	2
C₄×#336	2