Subgroups — #370393

Order 512.

958 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1922	C₂	1	4	yes	maximal
3	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11376	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1939	—	2	2	no	—
21	#1939	—	2	2	no	—
22	#1922	—	2	16	no	—
23	#1846	C₄	1	4	yes	complemented
24	#1845	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
25	#1845	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
26	#1844	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
27	#1844	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#1770	—	2	2	no	—
29	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
30	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	#1729	C₂²	1	2	yes	—
34	#1729	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#427	—	2	8	no	—
48	#427	—	2	8	no	—
49	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#424	—	2	8	no	—
54	#423	—	2	2	no	—
55	#423	—	2	2	no	—
56	#423	—	2	2	no	—
57	#423	Q₈	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	#405	—	2	8	no	—
63	C₂×#97	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
74	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#380	—	2	2	no	—
81	#380	—	2	2	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄³	—	2	2	no	—
85	C₄³	—	2	2	no	—
86	#341	—	2	8	no	—
87	#339	—	2	8	no	—
88	#339	—	2	8	no	—
89	#336	—	2	4	no	—
90	#336	—	2	4	no	—
91	#336	—	2	4	no	—
92	#336	D₄	1	8	yes	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
125	#117	—	2	4	no	—
126	#117	—	2	4	no	—
127	#117	—	2	4	no	—
128	#117	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
157	#107	—	2	8	no	—
158	#107	—	2	8	no	—
159	#106	—	2	8	no	—
160	#106	—	2	8	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
162	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
164	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
165	#97	—	4	4	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	4	no	—
169	C₄×C₈	—	2	4	no	—
170	C₄×C₈	—	2	4	no	—
171	C₄×C₈	—	4	4	no	—
172	#95	—	2	4	no	—
173	#95	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	#126	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
200	M₁₆	—	2	8	no	—
201	M₁₆	—	4	4	no	—
202	M₁₆	—	4	4	no	—
203	M₁₆	—	4	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	4	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
230	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
231	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	4	16	no	—
246	C₄²	—	4	2	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₄²	—	4	2	no	—
250	C₄²	—	4	2	no	—
251	C₄²	—	4	2	no	—
252	C₄²	#117	1	2	yes	—
253	C₄²	#117	1	2	yes	—
254	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
255	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
257	C₄²	#123	1	4	yes	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	#532	1	2	yes	—
264	C₂³	#541	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	#387	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#387	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
304	C₈	—	2	4	no	—
305	C₈	—	2	4	no	—
306	C₈	—	2	2	no	—
307	C₈	—	2	2	no	—
308	C₈	—	4	2	no	—
309	C₈	—	4	4	no	—
310	C₈	—	8	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#2327	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#2496	1	2	yes	—
320	C₂²	#2506	1	2	yes	—
321	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
322	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	4	8	no	—
325	C₄	—	8	2	no	—
326	C₄	—	8	2	no	—
327	C₄	—	8	2	no	—
328	C₄	—	8	2	no	—
329	C₄	#1922	1	8	yes	complemented
330	C₄	#2344	1	2	yes	—
331	C₄	#2365	1	2	yes	—
332	C₄	#2499	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#2542	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#2565	1	1	yes	characteristic
336	C₂	—	2	2	no	—
337	C₂	—	2	2	no	—
338	C₂	#14049	1	1	yes	characteristic
339	C₂	C₂×#1922	1	2	yes	—
340	C₂	#21705	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#21706	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#22256	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
23. #1846	C₄	semidirect
24. #1845	C₄	semidirect
25. #1845	C₄	semidirect
26. #1844	C₄	semidirect
27. #1844	C₄	semidirect
329. C₄	#1922	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21143	2
C₂×#1922	2
#20797	2
#20437	2
#11376	2
#10844	2
#10839	2
C₄×#336	2