Subgroups — #37118

Order 256.

1203 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#539	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2849	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2723	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2720	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2696	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2692	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2614	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2561	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2539	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#2534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2486	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#539	—	2	8	no	—
19	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#399	C₂²	1	2	yes	—
41	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#397	C₂²	1	2	yes	—
44	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#396	C₂²	1	4	yes	—
46	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#394	C₂²	1	4	yes	—
49	#393	C₂²	1	2	yes	—
50	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#392	C₂²	1	2	yes	—
53	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#390	C₂²	1	4	yes	—
55	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#388	C₂²	1	4	yes	—
58	#388	C₂²	1	4	yes	—
59	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#386	C₂²	1	4	yes	—
62	#386	C₂²	1	4	yes	—
63	#386	C₂²	1	4	yes	—
64	#385	C₂²	1	4	yes	—
65	#385	C₂²	1	4	yes	—
66	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#381	C₂²	1	2	yes	—
69	#381	C₂²	1	2	yes	—
70	#381	C₂²	1	2	yes	—
71	#381	C₂²	1	2	yes	—
72	#380	C₂²	1	2	yes	—
73	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
74	#379	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
79	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
80	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#126	—	2	8	no	—
96	#125	—	2	8	no	—
97	#123	—	2	8	no	—
98	#123	—	2	8	no	—
99	#123	—	4	4	no	—
100	#123	—	4	4	no	—
101	#123	—	4	4	no	—
102	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
103	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
104	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
106	#121	—	2	4	no	—
107	#120	—	4	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
148	#95	C₂³	1	2	yes	—
149	#95	C₂³	1	2	yes	—
150	#95	C₂³	1	4	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	#95	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	#95	C₂³	1	4	yes	—
157	#95	C₂³	1	4	yes	—
158	#95	C₂³	1	4	yes	—
159	C₂⁴	—	2	2	no	—
160	C₂⁴	—	2	4	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	4	2	no	—
163	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
168	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
170	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	2	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	2	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	4	2	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
193	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
222	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	4	2	no	—
241	C₄²	—	4	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	—	2	8	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	4	16	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
259	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
260	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
261	Q₈	—	4	16	no	—
262	Q₈	—	8	2	no	—
263	D₄	—	4	8	no	—
264	D₄	—	8	2	no	—
265	D₄	—	8	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	16	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	4	no	—
297	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	8	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	8	no	—
306	C₂²	—	4	16	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	#535	1	4	yes	—
316	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
319	C₂²	#585	1	2	yes	—
320	C₄	—	2	4	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	2	2	no	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	4	2	no	—
325	C₄	—	4	2	no	—
326	C₄	—	4	2	no	—
327	C₄	—	4	2	no	—
328	C₄	—	4	2	no	—
329	C₄	—	4	2	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	—	4	4	no	—
332	C₂	—	2	4	no	—
333	C₂	—	4	4	no	—
334	C₂	—	8	2	no	—
335	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#3535	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2539	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#539	C₂	semidirect
2. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2849	C₂	semidirect
4. #2723	C₂	semidirect
5. #2720	C₂	semidirect
6. #2696	C₂	semidirect
7. #2692	C₂	semidirect
8. #2614	C₂	semidirect
9. #2561	C₂	semidirect
11. #2534	C₂	semidirect
12. #2503	C₂	semidirect
13. #2501	C₂	semidirect
14. #2486	C₂	semidirect
15. #2313	C₂	semidirect
19. C₂×#126	C₂²	semidirect
20. C₂×#125	C₂²	semidirect
25. C₂×#123	C₂²	semidirect
30. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
39. #400	C₂²	semidirect
41. #399	C₂²	semidirect
42. #398	C₂²	semidirect
44. #397	C₂²	semidirect
46. #395	C₂²	semidirect
47. #395	C₂²	semidirect
50. #393	C₂²	semidirect
51. #393	C₂²	semidirect
53. #391	C₂²	semidirect
55. #390	C₂²	semidirect
56. #389	C₂²	semidirect
59. #387	C₂²	semidirect
60. #387	C₂²	semidirect
66. #384	C₂²	semidirect
67. #382	C₂²	semidirect
73. #380	C₂²	semidirect
111. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#539	2
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
#2849	2
#2723	2
#2720	2
#2696	2
#2692	2
#2614	2
#2561	2
#2539	2
#2534	2
#2503	2
#2501	2
#2486	2
#2313	2