Subgroups — #37119

Order 256.

1305 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 263 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#534	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2853	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2717	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2686	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2684	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2614	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2483	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2412	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2405	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2308	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#534	—	2	8	no	—
16	C₂×#124	—	2	8	no	—
17	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#397	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#397	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#395	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#393	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#386	C₂²	1	4	yes	—
39	#386	C₂²	1	4	yes	—
40	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#379	C₂²	1	2	yes	—
50	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
51	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
56	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
58	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
59	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
60	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	#124	—	2	16	no	—
73	#124	—	2	16	no	—
74	#123	—	2	8	no	—
75	#123	—	2	8	no	—
76	#123	—	4	8	no	—
77	#121	—	2	16	no	—
78	#120	—	2	8	no	—
79	#120	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
102	#95	C₂³	1	8	yes	—
103	#95	C₂³	1	8	yes	—
104	#95	C₂³	1	8	yes	—
105	#95	C₂³	1	8	yes	—
106	#95	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂⁴	—	2	4	no	—
108	C₂⁴	—	2	4	no	—
109	C₂⁴	—	2	2	no	—
110	C₂⁴	—	4	2	no	—
111	C₂⁴	—	4	4	no	—
112	C₂⁴	—	4	4	no	—
113	C₂⁴	—	4	4	no	—
114	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
117	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
119	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
122	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
123	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
124	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
125	C₂×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂×D₄	—	2	8	no	—
128	C₂×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂×D₄	—	4	16	no	—
130	C₂×D₄	—	4	2	no	—
131	C₂×D₄	—	4	2	no	—
132	C₂×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂×D₄	—	4	4	no	—
135	C₂×D₄	—	4	8	no	—
136	C₂×D₄	—	4	16	no	—
137	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
139	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
159	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
173	C₄²	—	2	8	no	—
174	C₂³	—	2	4	no	—
175	C₂³	—	2	2	no	—
176	C₂³	—	2	2	no	—
177	C₂³	—	2	2	no	—
178	C₂³	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	2	4	no	—
180	C₂³	—	2	4	no	—
181	C₂³	—	2	8	no	—
182	C₂³	—	2	8	no	—
183	C₂³	—	2	8	no	—
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	—	2	4	no	—
186	C₂³	—	2	8	no	—
187	C₂³	—	4	8	no	—
188	C₂³	—	4	8	no	—
189	C₂³	—	4	4	no	—
190	C₂³	—	8	8	no	—
191	C₂³	—	8	8	no	—
192	C₂³	—	8	4	no	—
193	C₂³	—	8	8	no	—
194	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
195	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
196	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
197	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
198	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
199	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
200	Q₈	—	4	16	no	—
201	D₄	—	4	8	no	—
202	D₄	—	4	8	no	—
203	D₄	—	4	8	no	—
204	D₄	—	4	8	no	—
205	D₄	—	8	8	no	—
206	C₂×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂×C₄	—	4	8	no	—
221	C₂×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂×C₄	—	8	4	no	—
224	C₂×C₄	—	8	8	no	—
225	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
226	C₂²	—	2	4	no	—
227	C₂²	—	2	8	no	—
228	C₂²	—	2	2	no	—
229	C₂²	—	2	2	no	—
230	C₂²	—	2	4	no	—
231	C₂²	—	2	4	no	—
232	C₂²	—	2	8	no	—
233	C₂²	—	2	4	no	—
234	C₂²	—	4	4	no	—
235	C₂²	—	4	4	no	—
236	C₂²	—	4	4	no	—
237	C₂²	—	4	4	no	—
238	C₂²	—	4	2	no	—
239	C₂²	—	4	4	no	—
240	C₂²	—	4	8	no	—
241	C₂²	—	8	8	no	—
242	C₂²	—	8	8	no	—
243	C₂²	—	8	8	no	—
244	C₂²	#534	1	4	yes	—
245	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
247	C₂²	#585	1	4	yes	—
248	C₄	—	2	4	no	—
249	C₄	—	4	2	no	—
250	C₄	—	4	4	no	—
251	C₄	—	4	4	no	—
252	C₄	—	4	4	no	—
253	C₄	—	4	8	no	—
254	C₂	—	2	4	no	—
255	C₂	—	4	2	no	—
256	C₂	—	4	4	no	—
257	C₂	—	4	2	no	—
258	C₂	—	8	2	no	—
259	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
260	C₂	#3485	1	2	yes	—
261	C₂	#3545	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#534	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#124	C₂	semidirect
3. #2853	C₂	semidirect
4. #2717	C₂	semidirect
5. #2686	C₂	semidirect
6. #2684	C₂	semidirect
7. #2614	C₂	semidirect
8. #2483	C₂	semidirect
9. #2412	C₂	semidirect
10. #2405	C₂	semidirect
11. #2308	C₂	semidirect
12. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
18. C₂×#124	C₂²	semidirect
27. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
28. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
29. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
30. #397	C₂²	semidirect
31. #397	C₂²	semidirect
32. #395	C₂²	semidirect
33. #394	C₂²	semidirect
34. #394	C₂²	semidirect
35. #393	C₂²	semidirect
36. #388	C₂²	semidirect
37. #387	C₂²	semidirect
40. #386	C₂²	semidirect
41. #386	C₂²	semidirect
42. #385	C₂²	semidirect
43. #385	C₂²	semidirect
44. #385	C₂²	semidirect
45. #381	C₂²	semidirect
46. #381	C₂²	semidirect
47. #381	C₂²	semidirect
48. #380	C₂²	semidirect
50. #379	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#534	2
C₂²×#124	2
#2853	2
#2717	2
#2686	2
#2684	2
#2614	2
#2483	2
#2412	2
#2405	2
#2308	2